28 Creuue: Einiges zur Theorie der Potenzen. 
nur dann in 2cos.x und 2isin x über, wenn man 2—=0 setzt, haben aber 
vollständig, wie gehörig, mehrere verschiedene Werthe. 
Aus (48) und (49) folgt ferner: 
&5 I: = cos x (!inrt&ı) +:sin x (2inrtı) 
ir 
e” = cos x (Ztinr&ı) —isina (2inrtı), 
welches ebenfalls vollständige Ausdrücke von e*'* sind. 
Wenn man (39) durch (37) dividirt, so erhält man, weil cos (x — 2nr) 
=cosx und sin (€ + 2nr) = sin & ist (43): 
5 1 x e* 2inr — 4F ainm 
Es ist also keinesweges, wie man gewöhnlich annimmt, e*"= 1, 
sondern vielmehr gleich ı**”", Das Nemliche findet man auch, wenn man 
in (37) an statt & setzt. Die Gleichung (51) enthält übrigens keinen Wi- 
derspruch: denn man darf daraus nicht etwa schliefsen e=1, vielmehr 
zeigt sie nur, dafs die + 2inr" Potenz von e der + 2inr“" Potenz von ı 
gleich ist. Nur einer von den verschiedenen Werthen dieser Potenzen ist 
reell, nemlich derjenige für =, und dieser Werth ist sowohl rechts als 
links gleich ı, so dafs für diesen Werth die Bedeutung der Gleichung sicht- 
bar ist. Auch wenn man die Gleichung (51) rechts und links z. B. zur Po- 
tenz & 2inr erhebt, entsteht kein Widerspruch, denn dieses giebt nicht 
er" — ı#"r*, welches allerdings unrichtig wäre, sondern da die Gleichung 
eigentlich 
tainm _— 4F&2ins 
PR ER 
oder, wie aus (37) zu sehen, wenn man daselbst 2nr statt & setzt, 
Ba. je m (005225 Tısnann) ıl, 
so erhält man vermöge (44): 
De 
HA, er u RR (cos Ann, Sismäindg), 
wo rechter Hand der Factor cos 4in’r” Hisin Ain’r’, wie aus (36) zu se- 
hen, reell und nicht gleich 1 ist. 
EN III 
