Ortsentfernung auf der Oberfläche des Erdsphäroids. 61 
mungshalbmesser ist des Meridians, und der Divisor der Halbmesser des Pa- 
rallel- Kreises von 4. 
Es steht nun bei uns dies Verhältnifs entweder so zu bestimmen, wie 
es die Natur der Kugel erfodert, oder, wie die Natur eines elliptischen Sphä- 
roids durch Umdrehung. Geschieht ersteres, so wird ds das Differenzial 
eines gröfsern Kreisbogens; in letzterem Falle stellt es dar das Differenzial 
einer von 4 nach auf der sphäroidischen Oberfläche gezogenen kürzesten 
Linie. In diesem Falle erhalten wir folglich die kürzeste Linie s durch In- 
tegriren des ds von 4 bis 4’, d.h. von @ bis @', von « bis «. 
Auf diesem Wege aber ergiebt sich für s ein leicht zu findendes Inte- 
gral aus einem rationalen trigonometrischen Differenzial-Elemente, welches 
sich in eine nach steigenden Potenzen des Quadrates der Erdeccentricität 
fortgehende und deshalb sehr schnell convergierende Reihe entwickeln, oder 
auch durch Zerlegung in Theilbrüche als ein vollständiges von Kreisbogen 
abhängiges Integral sich darstellen läfst. 
Da nach der oben angegebenen Construction der sphärische und der 
sphäroidische Längenunterschied der Orte 4, #', zusammenfallen, so ver- 
steht es sich von selbst, dafs das Differenzial dieses Unterschiedes für jeden 
von beiden dasselbe sei, dafs es also nur darauf ankomme in den Ausdruck 
dafür die Bedingungen zu legen, welche die Natur einer kürzesten Linie 
überhaupt, und besonders die Natur der Oberfläche, worauf diese gezogen 
wird, erheischet. Dies geschieht auf analoge Weise, wie vorhin von ds ge- 
zeigt wurde und wir erhalten auf ähnlichem Wege ein entsprechendes ähn- 
liches Integral. 
So bieten sich, zur Lösung aller Aufgaben die Ortsentfernungen auf 
der Erdoberfläche betreffend, zwei Hauptintegrale dar, beide von der Art, 
dafs sie sich durch Kreisfunctionen vollständig ergeben, wodurch sie sich 
wesentlich von den bekannten unterscheiden. 
Wiewohl ich nun glaube, dafs sich gegen die Folgerichtigkeit der 
Schlufsreihe, worauf sie gegründet sind, nichts dürfte erinnern lassen, so 
habe ich doch, wegen ihrer wesentlichen Abweichung von den Formeln, 
die wir den ersten Meistern in diesem Fache und der Analysis überhaupt 
verdanken, für nothwendig erachtet, die Rechnung, nach der hier von mir 
vorgelegten Methode an einem Beispiele durchzuführen. 
