Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen. 105 
für die Darstellung dieser Theorie wie sie für ein Elementenbuch pafst, gar 
nichts mehr zu wünschen bleibt. 
Auf diese Weise vervollständigt und in gewissem Sinne abgeschlossen, 
bietet die von Fermat und Euler vorbereitete, von Lagrange in ihrem 
ganzen Umfang erkannte Theorie der quadratischen Formen und der ent- 
sprechenden Linearformen der durch sie darstellbaren Zahlen noch meh- 
rere Fragen dar, von denen ich eine in der Abhandlung, welche ich der 
Akademie vorzulegen die Ehre habe, zu behandeln versuche. 
Um den Gegenstand dieser Frage näher zu bezeichnen, ist es nöthig 
einige specielle Resultate anzugeben, welche aus der Theorie hervorgehen, 
deren allmählige geschichtliche Entwickelung ich so eben angedeutet habe. 
Ich werde mich dabei auf den Fall beschränken, wo die vorher c genannte 
Zahl eine Primzahl ist, weil für diesen Fall die Frage sich in ihrer einfach- 
sten Gestalt darstellt. Unter dieser Voraussetzung bilden die Linearformen 
welche den einfachen Divisoren von 2” -++ cu? zukommen, eine oder zwei 
Gruppen, je nachdem ce mit, seinem Zeichen genommen, bei der Division 
durch 4 die Einheit negativ oder positiv genommen, zum Reste läfst. Wenn 
nun im ersteren Falle diesen Linearformen oder im letzteren Falle einer 
oder jeder der beiden Gruppen derselben, die sich dadurch von einander 
unterscheiden, dafs die eine nur Primzahlen der Form 42 + ı, die andere 
nur solche der Form Ar +3 enthält, mehrere quadratische Formen ent- 
sprechen, so liegt in der erwähnten Theorie eine Unvollständigkeit, indem 
sie zwar zeigt, dafs eine Primzahl, sobald sie in einer der Linearformen ent- 
halten ist, nothwendig eine der entsprechenden quadratischen Formen an- 
nehmen könne, allein durchaus kein Mittel angiebt a priori zu entscheiden, 
welche der quadratischen Formen ihr zukommt. Läfst man sich von der 
Analogie leiten, so geräth man leicht auf die Vermuthung, es könne die Ge- 
sammtheit der Linearformen einer Gruppe der mehrere quadratische For- 
men entsprechen, in mehrere Unterabtheilungen zerfallen, von denen jede 
nur einer quadratischen Form angehöre. Allein diese Vermuthung bestätigt 
sich nicht, denn man findet bald, dafs jede quadratische Form Primzahlen 
von jeder einzelnen Linearform darstellt. Es erhellt hieraus, dafs die cha- 
vakteristischen Eigenschaften der einzelnen zu einer Gruppe gehörigen qua- 
dratischen Formen nicht durch die den Primzahlen, welche sie enthalten, zu- 
kommenden Linearformen ausgedrückt werden können, sondern nothwendig 
Mathemat. Abhandl. 1833. (@) 
