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von einem andern bisher in dieser Theorie nicht vorhandenen Elemente 
abhängig sein müssen. Eine schon vor mehreren Jahren unternommene Un- 
tersuchung, deren Gegenstand mit der vorher aufgeworfenen Frage in gar 
keinem Zusammenhange zu stehen scheint, hat mich auf einige Sätze geführt, 
welche für einzelne Fälle die charakteristischen Eigenschaften der in den 
verschiedenen quadratischen Formen enthaltenen Primzahlen kennen lehren, 
und zugleich den Weg bezeichnen, auf welchem sich die Induction zu allge- 
meinern Sätzen zu erheben hat. Obgleich die von mir gefundenen Resultate 
sich nicht auf den Fall beschränken, wo die oben mit ce bezeichnete Zahl 
eine Primzahl ist, so soll doch dieser Fall, als der einfachere, in dieser Ab- 
handlung ausschliefslich betrachtet werden ('). 
g. 1. 
Wir werden uns häufig eines von Legendre eingeführten Zeichens 
bedienen, dessen Bedeutung also vor allen Dingen festzustellen ist. Ist p 
eine ungerade Primzahl und A irgend eine nicht durch p theilbare Zahl, so 
läfst A 2 den Rest + ı oder — ı bei der Division durch p, und zwar 
findet du erstere oder letztere bekanntlich statt, je nachdem A quadrati- 
scher Rest oder Nichtrest von p ist. Diesen Rest +ı nun werden wir mit 
(.) 
bezeichnen. Es it nach der Den alnDs dieses Zeichens klar, dafs ( ) (+ —) 
= ı und dafs (+ ) er N (F > wo / wie k eine nicht durch » dheitee 
Zahl bezeichnet. Auch folgt. aus bekannten Sätzen (?), dafs I)" ! 
wenn p von der Form s2 + 1ı, dafs hingegen ( -) =— 1 wenn pin der 
Legendre durch 
Form sn &5 enthalten ist. Das Reeiprocitätsgesetz, welches zwischen irgend 
zwei ungeraden Primzahlen stattfindet (°), läfst sich vermittelst dieses Zei- 
chens sehr einfach ausdrücken. Denkt man sich nämlich unter k ebenfalls 
eine ungerade Primzahl, so ist dasselbe in der Gleichung 
D=+) 
(‘) Die im Folgenden entwickelte Methode bleibt fast ohne Modification anwendbar, wenn 
a eine zusammengesetzte Zahl ist. 
GC) "Th. des N: nr. 150. 
(?) Th. des N. nr. 166. 
