Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen. 107 
enthalten, in welcher das untere Zeichen zu nehmen ist, wenn die ungeraden 
Primzahlen beide von der Form 42 -+3 sind, das obere Zeichen dagegen, 
wenn jede oder auch nur eine die Form 42 +1 hat. Dies vorausgesetzt 
wenden wir uns zu den in der Einleitung angekündigten Betrachtungen. 
S.2. 
Es sei a eine Primzahl der Form sz +1 und p, q zwei andere Prim 
zahlen von der Form Ar +1, von solcher Beschaffenheit, dafs Er =) =1und 
C 2) = = ı. Die Zahl p ist vermöge dieser Bedingungen in einem der qua- 
dratischen Divisoren in -+ 1 (!) von der Formel 2” +au?, und als Primzahl 
auch nur in einem derselben enthalten (*). Dasselbe gilt von der Zahl g. 
Wir machen nun die neue Annahme, dafs beide Primzahlen >, q durch den- 
selben quadratischen Divisor ausgedrückt werden, woraus nach einem be- 
kannten Satze (°) folgt, dafs das Produkt pq in der Formel 2” + au? selbst 
enthalten ist. Wir haben also folgende Gleichung 
Uta” =pg (1) 
in welcher offenbar die Zahlen t, u keinen gemeinschaftlichen Factor haben. 
Auch ist klar, dafs von diesen Zahlen die eine gerade, die andere ungerade 
sein wird. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle, je nachdem p, q, von denen 
jede bei der Division durch 8 den Rest 1 oder den Rest 5 lassen kann, gleiche 
oder verschiedene Reste geben. 
Erster Fall. Die Primzahlen p und z sind entweder beide von der Form 
sn +1, oder beide von der Form s2 +5, d.h. ihr Produkt pg 
hat die Form sz +1. 
Wir wollen bei diesem ersten Falle zwei Unterabtheilungen eintreten 
lassen, je nachdem 2 oder z ungerade ist. Ist z ungerade, also u gerade, so 
setze man t=gg'g"..., u= e?hhh”.., wog, g,g"..., h, hl, h”... unge- 
rade Primzahlen bezeichnen. Die Gleichung (1) giebt unmittelbar: 
een 
(') Wir bedienen uns zur Abkürzung dieses Ausdrucks, um einen quadratischen Divisor zu 
bezeichnen, der keine andern ungeraden Zahlen als solche von der Form 4n + 1 darstellt. 
() Th.des N. nr. 234. 
C) . Th. des N. nr. 233. 
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