126 Dinksen über die Anwendung der Analysis 
Weise sich, von dem angegebenen Standpunkt aus, mit geometrischer Schärfe, 
über die Gleichheit und Ungleichheit zwischen einer geraden und einer krum- 
men Linie werde entscheiden lassen. Diese Schwierigkeit erkennend, ging 
der eben so schöpferische als scharfsinnige Archimed von einem besondern 
Satze aus, der auch von allen ältern und neuern Mathematikern der Recti- 
fication der Curven zum Grunde gelegt worden ist. Derselbe lautet: 
‚Von mehreren krummen, oder gemischten Linien mit einerlei End- 
‚„, punkten in einer Ebene sind je zwei solche ungleich, welche nach einer 
‚„‚Seite hohl sind, wenn deren eine mit der geraden die Grenzen verbin- 
‚„‚denden, die andere entweder ganz umschliefst, oder nur zum Theil, 
„und zum Theil in sie fällt. Auch ist die umschlossene die kleinere.’ 
(vd. Archimedes Werke, von der Kugel und dem Cylinder, Buch 1, 
Ann. 2). 
Diesen Satz in Betreff der Beziehung zwischen den Gröfsen zweier 
Linien oder deren Längen zugegeben, zeigt eine nähere Betrachtung, dafs 
jeder begrenzten krummen Linie eine gerade von gleicher Länge corre- 
spondirt. 
Allein da jeder mathematische Satz entweder eine Definition, oder 
ein Axiom, oder ein Lehrsatz sein mufs; so wird auch der in Rede stehende 
Archimedesche Satz zu einer von diesen drei Gattungen gehören müssen. 
Soll der Satz als Axiom betrachtet werden, so wird, dem Begriffe eines 
solchen Satzes nach, die Richtigkeit oder die Art der Möglichkeit desselben 
als unmittelbar einleuchtend und gewifs erkannt werden müssen. Dies aber 
dürfte, von einem wissenschaftlichen Standpunkt aus betrachtet, um so 
schwieriger sein, als dieselbe, wie schon oben bemerkt, eine Vergleichung 
betrifft, deren Unmöglichkeit sogar klarer, als deren Möglichkeit zu sein 
scheint. Soll der Satz als ein Lehrsatz angesehen werden, so bedarf er, 
zum Behuf der Zulassung, der Demonstration, die weder von Archimedes 
noch von einem andern Mathematiker, von dem oben bezeichneten Stand- 
punkt aus, geleistet worden ist. Dafs, wie ein sehr achtungswerther Über- 
setzer der Archimedeschen Schriften bemerkt hat, der in Rede stehende 
Satz, ohne Beihülfe eines anderweitigen Satzes, des Beweises fähig, und von 
Archimedes blofs deshalb ohne Beweis hingestellt worden sei, um den Ge- 
brauch des Unendlichen zu vermeiden, dürfte um so zweifelhafter sein, als 
es ihm vielmehr nur durch die Methode, welche wir, heut zu Tage, die des 
