auf die Rectification der Curven, u.s.w. 127 
Unendlichen nennen, möglich war, von seinem Satze den beabsichtigten 
Nutzen zu ziehen. Denn nicht die Erfindung dieser Bestimmungsform, 
welche sich in das Alterthum verliert, und vielleicht schon den Leistungen 
des Eudoxus zu statten kam, sondern die abstractere Auffassung und die 
verallgemeinerte, erweiterte und vervielfältigte Anwendung desselben ist das 
Verdienst der neuern Zeit. 
Da es diesem nach feststeht, dafs der angeregte Archimedesche Satz, 
den Anforderungen der mathematischen Methode nach, weder als Axiom, 
noch als Lehrsatz aufgenommen werden kann; so bleibt uns nichts weiter 
übrig, als denselben als eine Definition zu betrachten. Als solche aber hat 
der Satz irgend einen Begriff ausführlich, genau und ursprünglich darzu- 
legen. Da nun, mit dieser Bedingung, die Form des in Rede stehenden 
Satzes nicht in dem besten Einklange zu stehen scheint, indem es nament- 
lich nicht unmittelbar klar wird, welcher Begriff durch denselben seine Be- 
stimmung erhält: so hat es mir nicht unangemessen geschienen, den Satz 
selbst durch einen andern, und zwar durch eine den Begriff der Gröfse der 
Länge einer Curve geradezu bestimmende Definition vertreten zu lassen. 
3. Die Quadratur oder die Complanation der krummen Flächen ist, 
wie man leicht übersieht, denen der Rectification der Curven völlig analo- 
gen Schwierigkeiten unterworfen. 
Jede Oberfläche hat eine gewisse Flächen - Ausdehnung, in Bezug auf 
welche sie gröfser und kleiner gedacht werden kann. Die Quadratur oder 
die Complanation einer krummen Fläche besteht, der Definition nach, in 
der Vergleichung der Gröfse ihrer Ausdehnung oder ihres Flächen - Inhalts 
mit dem einer ebenen Fläche. Da aber eine ebene und eine krumme Fläche 
weder congruent, noch in congruente Flächen -Theile zerfällbar sind, so ist 
es, von dem hier angegebenen Standpunkte aus, in so fern man den Begriff 
der Gleichheit in dessen geometrischer Klarheit und Bestimmtheit erhalten 
will, nicht wohl abzusehen, auf welche Weise sich jemals eine Vergleichung 
zwischen beiden Gattungen von Flächen, dem Begriff der Nothwendigkeit 
nach, werde zu Stande bringen lassen. Der Satz, dessen sich Archimed, 
zur Vermittelung der Möglichkeit einer solchen Vergleichung bediente, und 
welcher auch von allen spätern Mathematikern der Quadratur der krummen 
Flächen zu Grunde gelegt worden ist, lautet: 
