auf die Rectification der Curven, u.s.w. 139 
Da nun die Gleichung (10) auf den Gleichungen (7) und (8) beruht, 
und die Gleichungen (8) blofs in den beiden letztgenannten Fällen der Dis- 
continuität unzulässig sind; so folgt, dafs der Richtigkeit der Gleichung (10) 
nicht durch den. ersten, sondern lediglich durch die beiden letzten Fälle 
einer Unterbrechung der Continuität Eintrag geschieht. Für solche Fälle 
wird man sich also an die Gleichung (6) oder (7) unmittelbar zu halten ha- 
ben, oder auch besondere aufstellen können. | 
Es sei, um die Begriffe festzustellen, &, ein aesauleter. zwischen x, 
und X enthaltener, Werth von x, für welchen . und = nicht zugleich 
möglich und bestimmt bleiben, und es werde angenommen, dafs x, der ein- 
zige, zwischen x, und X enthaltene Werth dieser Art sei. Alsdann wird, 
dem Obigen nach; die Gleichung (10) richtig sein von e=x, einschliefslich 
bis <—=x, ausschliefslich, und von x =, ausschliefslich bis e—= X. Be- 
zeichnet demnach £ eine positiv-bleibende Veränderliche < x, — x, und 
X—x,; so hat man, nach dem 4'“ Lehrsatze, 
(11) AP Ter S@* ()*+ MizTeagre: 
Diese Gleichung hat das Eigenthümliche, dafs sie, mittelst Bezug- 
nahme auf den Begriff des Grenzwerths eines bestimmten Integrals, in den, 
freilich höchst seltenen, Fällen zu dem primitiven Ausdruck der Länge führt, 
in denen sich der Werth des bestimmten Integrals durch eine primitive Func- 
tion von dessen Grenzen darstellen läfst. 
Bezeichnen ferner, unter Festhaltung der obigen Voraussetzung, x 
r—i 
und x, ,,' zwei besondere Werthe von x, von denen &,_, zwischen x, und 
r+1 
r—i 
x, und x, ,, zwischen x, und Xliege; so hat man, nach den Gleichungen 
(6) und’ (10) und dem 2" Lehrsatze, 
Die 
(12) 2 «u ee (e (On un +) +) 
x, e 
+ fa +) (2) 
%r +1 2 
