Zur Theorie der Ebene. 



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H'° X R E L L E. 



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[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am 1. Mai 1834.] 



B. 



bekanntlich hat man sich vielfältig bemüht, einigen von den Stellen der 

 Euklidischen Geometrie, die entweder nicht so klare Vorstellungen gewäh- 

 ren, oder denen eine nicht so ununterbrochene Folgerichtigkeit eigen ist, 

 als dem ganzen übrigen, so vortrefflichen Werke, jene Klarheit der Vorstel- 

 lungen zu verschaffen und die Lücken der Schlufsfolgen auszufüllen. Ins- 

 besondere waren, zum Beispiel, die Bemühungen um die Theorie der 

 Parallelen zahlreich, obgleich von denselben wenigstens alle diejenigen, 

 die nur von Euklides Sätzen ausgingen, und bei seinen Hülfsmitteln stehen 

 blieben, immerfort mifslangen. Auch um einiges Andere hat man sich viel- 

 fältig bemüht, jedoch nicht um alles, was zu wünschen übrig bleibt, gleich 

 angelegentlich. Gleichwohl ist darunter ein Gegenstand, der nicht minder 

 unvollkommen, obschon gewifs nicht minder einflufsreich auf alles Übrige 

 sein dürfte, als irgend ein anderer: ja! der selbst noch imvollkommener, ob- 

 gleich eben so wichtig ist, als die Parallelen - Theorie. Dieser Gegenstand ist 

 die Theorie der Ebene. Bei den Parallelen drückt sich Euklid wenig- 

 stens völlig bestimmt und klar aus, und die Schwierigkeit ist nur, dafs dort ein 

 Satz ohne Beweis angenommen werden soll, der des Beweises fähig zu sein 

 und zu bedürfen scheint. Bei der Ebene dagegen sind die Worte des grofsen 

 Lehrers der Geometrie völlig unbestimmt, wenigstens dunkel. Euklid 

 sagt: ,,Eine Ebene ist, welche zwischen jeden in ihr befindlichen geraden 

 Linien auf einerlei Art liegt." Diese Definition scheint derjenigen nachge- 

 bildet, welche er von der geraden Linie giebt, und welche diese Linie für 

 diejenige erklärt, ,, die zwischen jeden in ihr befindlichen Puncten auf einer- 

 lei Art liegt." Die Worte ,,auf einerlei Art liegt" geben aber offenbar 

 keinen, auch nur einigermafsen ausschliefsenden Begriff von irgend einer 



