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bestimmten geometrischen Gestalt, und lassen folglich die Vorstellung 

 von der Ebene völlig in üngevrifsheit. Gleichwohl ist die Ebene das Con- 

 structions-Feld fast der gesammten übrigen Geometrie; und gleich der erste 

 Satz des ersten Buches des Euklides bedarf eines bestimmten und festen 

 Begriffs der Ebene, vrenn er nicht, nebst fast Allem, was folgt, im Dunkel 

 und im Ungewissen schweben soll. Es wäre daher zu erwarten gewesen, 

 dafs man sich um die Theorie der Ebene wenigstens eben so angelegentlich 

 und vielfältig bemüht hätte, als um die der Parallelen. Allein dies ist nicht 

 geschehen. Die Ursache mag sein, weil die Parallelen (die übrigens auch 

 ihrerseits den Begriff der Ebene unumgänglich nöthig haben) ein viel ein- 

 facherer Gegenstand sind, als die Ebene: ein Gegenstand, der nicht allein 

 vielseitigeren Bemühungen zugänglich ist, sondern bei welchem auch die 

 Nothwendigkeit der weiteren Aufklärung mehr in die Augen springt. In 

 neuerer Zeit hat man gesagt: eben sei eine Fläche, wenn die geraden Li- 

 nien, welche je zwei beliebige in der Fläche liegende Puncte verbinden, 

 ganz in der Fläche liegen. Gleichzeitig hat man die gerade Linie für den 

 kürzesten Weg von einem Puncte zum andern erklärt. Diese Definition der 

 geraden Linie giebt aber noch weniger eine bestimmte Vorstellung von der 

 Gestalt des Gegenstandes, als selbst die Euklidische, und scheint ihr daher 

 auch nicht vorzuziehen. Die Definition der Ebene aber, obgleich sie aller- 

 dings bestimmter ist, als die Euklidische, schliefst, wenn man sie näher be- 

 trachtet, so auffallend Lehrsätze in sich, dafs sie, aus eben den Ursachen, 

 aus welchen die Euklidische Begründung der Parallelen -Theorie nicht zu- 

 gelassen werden mag, noch viel weniger dürfte zugestanden werden können. 

 Denn zieht man z.B. in der Ebene, in welcher das Dreieck ABC Fig. 1. 

 liegt, durch eine der Ecken, A und durch einen beliebigen Punct D der 

 gegenüberliegenden Seite die gerade Linie AD, so soll dieselbe, der Er- 

 klärung der Ebene zu Folge, ganz in der Ebene des Dreiecks liegen : alle 

 Puncte der Ebene in dieser Linie sind also völlig bestimmt. Zieht man nun 

 hierauf aus einer zweiten Ecke B des Dreiecks eine gerade Linie BE nach 

 irgend einem Puncte E der gegenüber liegenden Seite AC, so soll auch diese 

 Linie eben so wohl ganz in der Ebene liegen, und alle Puncte der Ebene in 

 dieser Linie sind ebenfalls völlig bestimmt. Beides zusammen: dafs AD 

 und BE ganz in der Ebene liegen, ist also offenbar nur dann möglich, wenn 

 AD und BE, etwa in F, sich schneiden; denn sonst wäre von zwei Ehe- 



