zur Theorie der Ebene. 29 



2. Lehrsatz, Es giebt nur eine gerade Linie durch zwei feste 

 Puncte im Räume. 



Beweis. Gäbe es eine zweite, von der ersten verschiedene gerade Li- 

 nie, so würden, weil dieselbe auch in die Lage der ersten und diese in die Lage 

 der zweiten müfste gebracht werden können, die sonst aufserhalb der beiden 

 festen Puncte liegenden Puncte der beiden Linien verschiedene Orte im 

 Räume einnehmen; welches der Erklärung der geraden Linie zuwider ist. 



3. Lehrsatz. Gerade Linien, die durch die nemlichen zwei Puncte 

 im Räume gehen, schliefsen keinen Raum ein, sondern fallen in ihrer gan- 

 zen Ausdehnung zusammen. 



Beweis. Sie können, nach (1.), nicht verschiedene Orte im Raum 

 einnehmen, wie sie auch durch die zwei festen Puncte gelegt werden mögen. 



4. Lehrsatz. Zwei gerade Linien können nur in einem einzigen 

 Puncte sich schneiden. 



Beweis. Hätten sie auch nur zwei Puncte gemein, so würden sie 

 schon in ihrer ganzen Ausdehnung zusammenfallen (3.). 



5. Lehrsatz. Wenn zwei gerade Linien AB und AC (Fig. 2.) durch 

 einen und denselben Punct A gehen, aufserdem aber jede durch einen an- 

 dern Punct B und C aufserhalb der andern Linie geht: so haben sie weiter 

 keinen Punct gemein. 



Beweis. Hätten sie einen zweiten Punct mit einander gemein, so 

 würden sie in ihrer ganzen Ausdehnung zusammenfallen (3.), und dies ge- 

 schieht nicht, weil z.B. AC namentlich durch den Punct C geht, der nach 

 der Voraussetzung nicht in der AB liegt. 



6. Erklärung. Wenn in der geraden Linie AB (Fig. 3.) die beiden 

 Puncte A und B, und in der geraden Linie CD die beiden Puncte C und D 

 so liegen, dafs, wenn man C in A, und die Linien selbst in einander legt, 

 D in B fällt: so also, dafs dann die beiden Linien sich gänzlich decken, so 

 heifsen sie gleich lang. 



7. Anmerkung. Gleich lange gerade Linien unterscheiden sich 

 durch Nichts von einander, und sind also einander vollkommen gleich. 

 Denn, wenn ein Endpunct der einen in den Endpunct der andern, und die 

 Linien selbst in einander gelegt werden, so fällt auch der andere Endpunct 

 der ersten in den andern Endpunct der zweiten, und folglich decken sich 

 die Linien gänzlich. 



