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■ 8. Anmerkung. Da aber gerade Linien auch in einander fallen 

 können, ohne gleich lang zu sein, nemlich die kürzere ganz in die längere, 

 weil jene zwei Puncte mit dieser gemein haben kann: so ist es die Länge, 

 wodurch sich gerade Linien von einander unterscheiden. 



9. Anmerkung. Eine gerade Linie kann mehrmals in eine zweite, 

 und mehrmals, in verschiedener Zahl, in eine dritte fallen. Die Länge der 

 zweiten und dritten verhält sich dann, wie die Zahlen, die ausdrücken, wie 

 oft die erste Linie in der zweiten und in der dritten enthalten ist. 



10. Erklärung. Wegen (9.), und da zwischen zwei Puncten nur 

 eine gerade Linie möghch ist (2.), dient die Gerade zum Maafse der Ent- 

 fernung zweier Puncte von einander. 



§.n. 



Bei den weiter folgenden Sätzen kommt vor, dafs gleiche Hälften 

 einer geraden Linie vorausgesetzt Averden müssen. Euklides beweiset die 

 Existenz solcher Hälften dadurch, dafs er eine gerade Linie durch Zeich- 

 nung halbiren lehrt. Er bedarf dazu des Kreises und zweier Sätze von der 

 Congruenz der Dreiecke. Da diese Hülfsmittel hier, wegen des noch feh- 

 lenden Begriffs der Ebene, nicht zu Gebote stehen, so ist ein anderer Be- 

 weis der Existenz gleicher Hälften einer geraden Linie nothwendig. Es 

 läfst sich folgender geben. 



11. Lehrsatz. In einer geraden Linie AB (Fig. 4«.) giebt es zwi- 

 schen den Endpuncten A und B stets einen Punkt C, der gleich weit 

 von den beiden Endpuncten A und B entfernt ist, und welcher folglich die 

 Länge AB in zwei gleiche Hälften, ^^6* und BC, theilt. 



Beweis I. Es sei D ein beliebiger Punct in AB, zwischen A 

 und B. Ist AD nicht gleich DB, also D nicht schon der Halbirungs- 

 Punct, so wird AD nothwendig entweder gröfser oder kleiner als DB sein. 

 Es sei kleiner. Alsdann wird AD jedenfalls wenigstens zweimal in AB 

 enthalten sein. Ist es nicht öfter in AB enthalten, so wird, wenn DR^ 

 AD ist, ein Stück RB übrig bleiben, welches kleiner als AD und folg- 

 lich jeden Falls wenigstens zweimal in AB enthalten ist. 



II. Es sei nun weiter A' (Fig. 4Z> und 4 c.) der willkührHch angenom- 

 mene Punct, und AK sei kleiner, als KB : so kann die Zahl der AK glei- 



