zur Theorie der Ebene. 31 



chen Stücke, welche in ^B mindestens enthalten sind, nur entweder 

 gerade oder ungerade sein. Das übrig bleibende Stück RB aber wird 

 nothwendig immer kleiner als ^K, und kann auch Null sein, aber nicht 

 gröfser, als ^K. 



III. Die Zahl n der gleichen Theile JK, KL, LM, MN, NP, PR 

 (Fig. 4^.) sei erstlich gerade, so dafs also ~/i eine ganze Zahl ist, und ^jM 

 = MP\. sei gleich 4« solchen Theilen; auch wei'de BX gleich MR oderJM 

 gemacht. Alsdann ist MX=RB, und folglich MX nicht gröfser, als ^K. 



IV. Die Zahl n der gleichen Theile ^K, KL, LM, MN, NR (Fig. 

 Ac.) sei zweitens ungerade. Alsdann wird ein ?i+i'"Theil RS=JK 

 nothwendig über B hinaus fallen, und da RB nicht kleiner sein kann, als 

 Null, so kann BS nicht gröfser sein, als JK. Nun ist «+ i nothwendig 

 eine gerade, also -^{n + \) eine ganze Zahl. Es sei J M =i MS =. -r{n-\-i) 

 Theilen, jeder gleich AK, und es werde BX=MS=JM gemacht, so wird 

 XM = BS und folglich XM nicht gröfser als ^K sein. 



V. Da also in Fig. ib. JM=BX (in.), und in Fig. 4c. ebenfalls JM 

 = BX (IV.), in beiden aber MX nicht gröfser ist, als j^K, auch ^Ä' selbst, 

 wo auch der Punct K zwischen ^ und B liegen mag, jeden Falls wenigstens 

 zweimal in .^B enthalten ist (I.): so folgt, dafs es in allen Fällen zwei 

 Puncte Mund X zwischen ^ und B giebt, deren Entfernung von einan- 

 der, während der eine M so weit von ^ als der andere X von B absteht, 

 wenigstens 2mal in ^B enthalten ist. 



VI. Deshalb wird es aber nun weiter, eben wie zwischen ^4 und B, 

 auch zwischen 31 und X nothwendig zwei neue Puncte 31, und X, geben, 

 die, während sie gleich weit von den Endpuncten 31 und X, und folglich 

 auch von y4 und B abstehen, nemlich so, dafs 3131^ = XX , , und folglich 

 auch AM^=:.BX, ist, von einander nie weiter entfernt sind, als dafs ihre 

 Entfernung M^X, von einander wenigstens 2 mal in 3IX, und folglich 

 wenigstens 4 mal in y^B enthalten ist. 



Gleicher Weise wird es zwei Puncte 31^ und X^ geben, die von A 

 und B gleich weit entfernt sind, während M„X„ wenigstens 2 mal in 

 31, Xf, also wenigstens 8 mal in j4B enthalten ist. 



Wird das Verfahren mmal wiederholt, so wird man nothwendig zu 

 zwei Puncten M^ und X„ gelangen, die zwischen j4 und B so liegen, dafs 

 ^31^ = BX^ , während 3I„X^ wenigstens 2'°mal in JB enthalten ist. 



