zur Theorie der Ebene. 35 



Also fällt auch BC in EF, und folglich decken sich die Dreiecke und sind 

 mithin einander gleich oder congruent. 



20. Lehrsatz. Wenn in einem Dreieck ABC (Fig. 10.) zwei Seiten 

 AB und AC einander gleich sind, so sind auch die denselben gegenüber lie- 

 genden Winkel C und B einander gleich. 



Erster Beweis. Es werde, während der Punct A an seiner Stelle 

 bleibt, AC in den Ort im Räume gebracht, den AB einnimmt, so wird G 

 in B fallen, weil AC = AB sein soll. Ferner wird AB in den Ort im Räume 

 gebracht werden können, den AC einnimmt, weil der Winkel A sich selbst 

 gleich ist (13 B.) Auch wird B in C fallen, weil AB = AC sein soll. Da 

 aber C in E und ß in C fällt, so wird auch die ganze Linie ßC in CB fal- 

 len (2.). Also wird der Scheitel C des Winkels AGB, nebst seinen beiden 

 Schenkeln CA und CB, in den Scheitel ß des Winkels ABC nebst seinen 

 Ijeiden Schenkeln BA und BC fallen, und folglich müssen die Winkel C und 

 B einander gleich sein. 



Zweiter Beweis. Mann nehme willkürlich einen Punct E in AB 

 an, und mache AF ■= AE, so ist in den Dreiecken FAB nnd EAC, AB = 

 AC, AF=AE und A = A. Also sind die Dreiecke einander gleich (19.), 

 und folglich ist BF= EC und AEC = AFB; folgUch sind auch die Neben- 

 winkel BBC und BFC gleich (14.). Desgleichen ist BE = FC. Mithin ist 

 in den Dreiecken BEC und BFC, BE = FC, BF = EC und BEC = BFC. 

 Also sind die Dieiecke gleich (19.), und folglich ist B = C. 



§.VI. 



Nunmehr wird die Definition der Ebene folgen müssen. Es wird aber 

 derselben ein Satz vorausgehen, welcher beweiset, dafs die Fläche, welche 

 Ebene genannt werden soll, möglich ist. Darauf werden sogleich einige 

 Sätze von der Ebene selbst hinzugefügt werden. 



21. Lehrsatz. Durch jede gerade Linie BC (Fig. 11.) und durch 

 einen beliebigen Punct A im Räume, aufserhalb derselben, ist immer eine 

 Fläche möglich, in welcher ohne Ausnahme alle die geraden Linien djd,, 

 e/le^ , f/if^ etc. in ihrer ganzen Ausdehnung liegen, die durch den Punct 

 A und durch die gerade Linie BC gehen. 



E2 



