zur Theorie der Ebene. 37 



wird, dafs diese Linien in einer und derselben Ebene liegen. Da ein 

 solches Zusammensein dreier gerader Linien, die eine vierte schneiden, wie 

 sich zeigen wird, sogleich wie man weiter geht und immerfort in den Demon- 

 strationen vorkommt, so ist dieser Vortheil wesentlich. Wollte man von der 

 Fourierschen Definition der Ebene ausgehen, so würde man jenes Vortheils 

 entbehren; es müfste erst bewiesen werden, dafs drei in einem und demsel- 

 ben Puncl sich schneidende gerade Linien, wenn sie auf einer festen Axe im 

 Räume, die dui-ch den Schneidepunct geht, senkrecht sind, nothwendig alle 

 drei zugleich durch eine vierte gerade Linie gehen, was vorbereitende Sätze 

 erfordert, deren Beweis, eben ohne die gegenwärtige Definition der Ebene, 

 nicht zu gelingen scheint. Hier mufs natürlich umgekehrt bewiesen werden, 

 dafs drei in einem und demselben Puncle sich schneidende gerade Linien, 

 wenn sie zugleich durch eine und dieselbe vierte gerade Linie gehen, auf 

 einer festen Axe im Räume, die durch den Durchschnittspunct der drei Li- 

 nien geht, alle drei zugleich senkreckt sein können; was sich auch thun läfst 

 und unten geschehen wird. 



23. Lehrsatz. Durch eine gerade Linie im Räume und durch einen 

 Punct aufserhalb derselben kann nur eine Ebene gehen. 



Beweis. Gesetzt, durch BC und durch A (Fig. 11.) könnte noch 

 eine zweite Ebene gehen : so sei AE eine der erzeugenden Geraden der er- 

 sten Ebene, die nicht in der zweiten liegt. Alsdann müfste, weil auch die 

 zweite Ebene, und folglich auch eine ihrer erzeugenden Linien durch A und 

 E gehen mufs, eine zweite gerade Linie durch A und E möglich sein, die 

 nicht mit der erzeugenden Geraden der ersten Ebene zusammenfällt. Da 

 dieses nicht möglich ist (2.), und das Gleiche von jeder andern erzeugenden 

 Geraden gilt, so müssen nothwendig alle erzeugenden Geraden der beiden 

 Ebenen zusammenfallen, und daher giebt es durch den bestimmenden Punct 

 und die bestimmende Gerade nur eine Ebene. 



24. Lehrsatz. Durch zwei gerade Linien, die sich schneiden, wie 

 AD und AG (Fig. 1 1.), kann immer wenigstens eine Ebene liegen. 



Beweis. Es gehe durch D und G die gerade Linie BC, und es 

 liege durch DG und A eine Ebene, so geht dieselbe auch durch die beiden 

 geraden Linien AD und AG. 



