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Jetzt wird ein Grundsatz eingeschaltet werden müssen, der zur wei- 

 teren Untersuchung der Eigenschaften der Ebene nothwendig ist. Es ist 

 folgender. 



25. Grundsatz. Wenn drei gerade Linien, die in einem imd dem- 

 selben Puncte sich treffen, in einer und derselben Ebene liegen, so ist der 

 Winkel zwischen den beiden äufsern Linien so grofs, als die Winkel zwi- 

 schen den beiden äufsern und der innern Linie zusammen genommen. Auch 

 kann jeder der beiden letzten Winkel, von Null an bis zur Grofse des ein- 

 schliefsenden Winkels, stetig wachsen. Also z.B. in Fig. 11. ist DJG so 

 grofs, als die beiden Winkel EJG und DAE zusammen genommen, und 

 ein innerer Winkel, wie EAG, kann jede mögliche Gröfse haben, von Null 

 an bis DAG. 



Euklid nimmt diesen Grundsatz von Winkeln stillschweigend 

 ebenfalls an, bezogen auf sein allgemeines drittes Axiom: ,, Gleiches von 

 Gleichem hinweggenommen, läfst Gleiches." Denn, nachdem z.B. in der 

 zu dem 5"" Satze des ersten Buches gehörigen Figur, hier Fig. 12., bewiesen 

 worden, dafs die Winkel ABG und ACE imd die Winkel CBG und BCE 

 gleich sind, wird, mit Berufung auf den 3"° Grundsatz, behauptet, dafs 

 ABC ■= AGB ist. Also wird angenommen, dafs die Winkel ABC und 

 CBG zusammen so grofs sind, als der Winkel ABG, und die Winkel 

 ACB und BCE zusammen so grofs, als der Winkel ACE, von welchem 

 bewiesen worden, dafs er dem Winkel ABG gleich ist. Auch enthält diese 

 Voraussetzung einschliefslich den zweiten Theil des gegenwärtigen Grund- 

 satzes ; denn da zu einem Winkel ein anderer, so klein als man will, hin- 

 zugethan werden kann, so folgt, wenn man, nach Euklid es, den entstehen- 

 den Winkel der Summe des ursprünglichen und des hinzugefügten Winkels 

 gleich setzt, dafs ersterer stetig wachsen kann. 



Es schliefst sich nun an den Grundsatz zunächst folgender Satz. 



26. Lehrsatz. Von jedem der beiden Winkel, in welche eine ge- 

 rade Linie, die mit den Schenkeln eines Winkels in einer und derselben 

 Ebene liegt, den W^inkel theilt, ist der Nebenwinkel des einen nothwendig 

 gröfser, als der andere Winkel. Z.B. wenn EC (Fig. 13.) durch BE geht, 

 und also den Winkel BCE in zwei andere BCE und ECE theilt: so ist 



