zur Theorie der Ebene. 39 



der Nebenwinkel ECB des einen Winkels BCE nothwendig gröfser, als 

 der andere Winkel ECF. 



Beweis. Der Nebenwinkel ECB kann von den Dreien mir Eins 

 sein: entweder gleich dem Winkel ECF, oder kleiner, oder gröfser. 

 Er kann nicht gleich ECF sein: denn sonst müfste CB in CF gebracht 

 werden können, was nicht angeht, weil die gerade Linie BB, nach BF ge- 

 bracht, nicht durch C gehen kann (15.). Er kann auch nicht kleiner als 

 ECF sein; denn sonst wäre er, weil z.ß. der Winkel ECG von Null bis 

 ECF stetig wachsen und folglich jede Gröfse haben kann, die kleiner 

 ist, als ECF (25.) irgend einem Winkel ECG gleich, dessenSchenkel CG 

 durch BF geht, was ebenfalls nicht möglich ist, weil die gerade Linie BB, 

 nach BG gebracht, wiederum nicht durch C gehen kann (15.) Also kann 

 £"610 nur gröfser sein, als ECF. 



Es folgen nun wieder einige Sätze, die zur ferneren Entwickelung 

 nothwendig sind. Die Beweise derselben sind den Euklidischen nachgebil- 

 det, mufsten aber theils vervollständigt, theils auf das hier Vorhergehende 

 bezogen werden. 



27. Lehrsatz. In jedem Dreieck ist jeder W^inkel kleiner, als der 

 Nebenwinkel des an der nemlichen Seite liegenden andern Winkels. Z. B. 

 in dem Dreiecke y4B C (Fig. 1 3.) ist der Winkel J kleiner, als der Neben- 

 winkel BCII des Winkels AGB. 



Beweis. Es sei in der Seite y4C, E derjenige Punct, der von A 

 und C gleich weit entfernt ist, und der immer existirt (11.). In der gera- 

 den Linie BEF, durch B und E, sei EF= BE und F und C durch eine 

 gerade Linie verbunden, so dafs BC, EC und FC in einer und derselben 

 Ebene liegen (22.). Alsdann sind in den Dreiecken ^£'5 und C£'i^ die Winkel 

 bei E, als Scheitelwinkel, gleich (16.); und da die einschliefsenden Seiten 

 ebenfalls gleich sind, nemlich, AE = EC und BEr=EF, so sind die Dreiecke 

 congruent (19). Also ist der Winkel BAE gleich dem W'inkel ECF. Dieser 

 Winkel ECF ist aber kleiner, als der \SI'iu\e\ECD (26.), also auch kleiner, 

 als der dem letzten gleiche Scheitelwinkel BGH (16.). Also ist auch der dem 

 Winkel £CF gleiche Winkel ^^//, oder ^, kleiner, als der Winkel 2?(^^. 



