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28. Lehrsatz. In jedem Dreiecke liegt der gröfseren Seite der grö- 

 fsere Winkel gegenüber, Z.B. wenn in dem Dreieck ^^C (Fig. 1 4.) AC:>AB 

 ist, so ist der Winkel ABC gröfser, als der Winkel ACE. 



Beweis. Es sei AD=zAB, so fällt D zwischen A und C, weil AC 

 > AB. In dem gleichschenkligen Dreiecke DAB ist der Winkel ABD dem 

 Winkel ADB gleich (20.). Für das Dreieck BDC aber ist ADB der Neben- 

 winkel des mit C an der nemlichen Seite liegenden andern W^inkels BDC. 

 Also ist ADB gröfser als ACB (27.), und folglich auch ABD gröfser, als C. 

 Ferner ist ABD kleiner als ABC (25.). Also ist um so mehr ABC gröfser, 

 als ACB. 



2P. Lehrsatz. In jedem Dreiecke liegt dem gröfseren Winkel die 

 gröfsere Seite gegenüber. Z.B. wenn in dem Dreiecke ^i^^r (Fig. 14.) der 

 Winkel ABC gröfser als der Winkel ACB ist, so ist die Seite AC länger, als 

 die Seite AB. 



Beweis. Wäre nicht AC>AB, so wäre entweder AC=zAB, oder 

 AC<AB. Im ersten Fall aber wäre ABC = ACB (20.), im letzteren ABC< 

 ACB (28.). Beides ist der Voraussetzung entgegen. Also kann nur ^C> 

 AB sein. • • ■ ... ,...',. ,, , . , ,.,,,.,,, 



30. Lehrsatz. In jedem Dreiecke sind zwei Seiten zusammen län- 

 ger, als die dritte. 



Beweis. Die Seite AB (Fig. 15.) des Dreiecks ABC sei nach D ver- 

 längert und AD = AC. In dem gleichschenkligen Dreieck ACD sind die Win- 

 kel ACD und ADC gleich (20.). Da aber BC, AC und DC in einer und der- 

 selben Ebene liegen (22.), so ist der Winkel BCD gröfser, als der Winkel ACD 

 (25.), also auch gröfser, als der dem letzten gleiche Winkel ADC oder BDC. 

 In dem Dreiecke BCD ist ferner die dem gröfseren Winkel BCD gegenüber 

 liegende Seite BD länger, als die dem kleinern Winkel BDC gegenüber lie- 

 gende Seite BC {29.); imd da nun BD = BA + AD =. BA + AC ist, so ist 

 BA -h AC> BC. 



31. Lehrsatz. Wenn in einem Dreieck eine Seite und die beiden 

 daran liegenden Winkel so grofs sind, als eine Seite und die beiden anlie- 

 genden Winkel in einem andern Dreiecke : so sind die beiden Dreiecke con- 

 gruent. Z. B. wenn in Fig. 16. BC = EF und Bz= E, C=zF ist, so ist auch 

 AB = DE, AC = DF und A = D. 



