zitr Theorie der Ebene. 41 



Beweis. Da BC=EF sein soll, so kann BC in EF oder EF in BC 

 gelegt werden, und zwar so, dafs B in E, C in F fällt, und es fällt dann 

 nothwendig z.B. DE in AB, oder AB in BE, weil nach der Voraussetzung 

 die Winkel B und E gleich sind (13 B.). Wären nun BA und DE nicht ein- 

 ander gleich, so wäre eines von beiden gröfser. Es sei DE > AB. Alsdann 

 wird, wenn BC in EF, und zwar -S in £", C in F gelegt wird, so dafs AB in 

 BE fällt, A nothwendig in irgend einen Punct G fallen, der zwischen E 

 und B liegt. Es wäre also nun BC=EF, B = E und BA = EG. Also wä- 

 ren die Dreiecke ABC und CEF congruent (IP.), und folglich müfste AC in 

 GF fallen und der Winkel GFE dem Winkel C gleich sein. Es ist aber yiel- 

 mehr, da GF mit EF und DF in einer und derselben Ebene liegt, der Win- 

 kel GFE kleiner, als der dem Winkel C gleich vorausgesetzte Winkel DFE 

 (25.). Also kann nicht AB<^DE sein. Es mufs vielmehr AB = BE sein 

 und folglich A in B und mithin auch AC in DF fallen ; also AB = BE, AC 

 = BF und A = B sein. 



32. Lehrsatz. W^enn die drei Seiten eines Dreiecks einzeln den 

 drei Seiten eines andern gleich sind : so sind auch die den gleichen Seiten 

 gegenüber liegenden Winkel gleich, und die Dreiecke sind folglich con- 

 gruent. Z.B. wenn (Fig. 16.) BE = AB, EF = BC und FB = CA, so ist 

 auch F=C, B = A und E = B, und folglich ABEF = AABC. 



Beweis. Wäre z.B. nicht E^B, Fz=C, so könnte nur sein: 



1) E=B und F > C, oder 



2) E =B und F < C, oder 



3) E <B und F < C, oder 



4) E> B und F> C, oder 



5) E < B und F > C. 



Mehr Fälle sind nicht möglich. 



I. Im ersten Falle: E = B, F>C werde BC in EF gelegt, so wird, 

 wegen B = E, AB in die Linie EB fallen ; der Winkel C aber, der kleiner 

 als F sein soll, ist nothwendig einem von den mit EF und BF in einer und 

 derselben Ebene liegenden Winkeln gleich, deren andere Schenkel zwi- 

 schen EF und BF fallen (25.) ; also z. B. C = EFG. Es fiele daher B in E, 

 C in F, AC in FG, BA in CB und A in G, folglich wäre EG = AB. Es ist 

 aber vorausgesetzt £■!? = r/z;. Also kann nicht, wenn£'=5ist, F>Csein. 

 Phjs.-mathemat. Abhandl. 1834. F 



