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' '• II. Im zweiten Falle : E = B und F<C wäre E = B, C > F, wel- 

 ches, wie so eben bewiesen, mit EF=BC, DF = JC und ED=.BA 

 zugleicb, nicht möglich ist. 



m. Im dritten Falle: E<B, F<C werde EF in BC gelegt. Der 

 Winkel F, welcher kleiner als C sein soll, ist nothwendig einem von den 

 mit BC und AC in einer und derselben Ebene BCA liegenden Winkeln 

 gleich, deren andere Schenkel zwischen AC luid BC fallen (25.). Also 

 kann man setzen: F = BCII. Eben so ist der Winkel E, welcher kleiner 

 sein soll, als B^ nothwendig einem von den mit BC und BH in einer und 

 derselben Ebene CBH liegenden Winkeln gleich, deren andere Schenkel 

 zwischen BC und BH fallen (25.). Also kann man setzen: E = KBC, 

 so, dafs also nun das Dreieck KBC, zufolge (3i.), dem Dreiecke DE F con- 

 gruent und DE = KB, DF=KC, folglich auch DE + DE, oder AB 

 -^AC = BK-i-KC wäre. Nun ist aber in dem Dreiecke BUK, BH-\-HK 

 > BK (30.) ; also, beiderseits KC hinzugethan, BH+ HC >BK-\- KC. 

 Ferner ist in dem Dreiecke AHC, AH -\- AC> HC (30.); also, beiderseits 

 BH hinzugethan, AB -\- AC > BH -^ H C, und folglich auch, weil BH 

 + HC > BK + KC war, AB + AC> BK + KC. Es kann also nicht, 

 wie es sein müfste, AB + AC =^BK -\- KC und folgUch kann auch nicht 

 £■ < B und F < 6' sein. ', i . ; 



IV. Im vierten Falle: E>B und F>C wäre B<E und C<F, 

 welches, wie so eben bewiesen, mit DE = AB, EF = BC und FD = CA 

 zugleich, nicht möglich ist. 



V. Im fünften Falle : E<.B, F>C, werde wieder EF in BC ge- 

 legt. Der Winkel E, welcher kleiner als B sein soll, ist nothwendig einem 

 von den mit AB und CB in einer und derselben Ebene ABC liegenden Win- 

 keln gleich, deren andere Schenkel zwischen AB und CB fallen (25.). 

 Also kann man setzen: i? = LBC. Es sei BM=zED, so dafs also DF in 

 CM fällt, und F=BCM ist: so liegt der Durchschnittspunct L von AC 

 und BM nothwendig zwischen B und 31, weil nur dann, wie es voraus- 

 gesetzt ward, ACB <BCM oder F ist (25.). Es wäre also nun DE oder 

 AB = BM, und DF oder MC = AC; folglich wären ABM und ACM 

 gleichschenklige Dreiecke. In diesen Dreiecken wären also die Winkel 

 BAM und BMA und die Winkel CAM und CMA gleich (20.). Gleichwohl 

 ist von den in einer und derselben Ebene BAM liegenden Winkeln BAM 



