zur Theorie der Ebene. 43 



und CAM der erste gröfser, als der zweite ; und eben so ist von den in 

 einer und derselben Ebene CMJ liegenden Winkeln BMA iind CMA der 

 erste kleiner, als der zweite (25.). Also kann nicht der Winkel BAM, der 

 gröfser ist, als der Winkel CAM, dem Winkel BMA, welcher kleiner ist, 

 als der dem Winkel CAM gleiche W inkel CMA, gleich sein. Und folglich 

 kann nicht E < als B und F> C sein. 



Von allen 5 Fällen findet also keiner Statt, und folglich ist nothwen- 

 dig E = B, F=C. 



Wenn nun aber E ■=z B, so fällt, wenn EF in BC gelegt wird, CD 

 in BA, und, wegen ED = BA, D in A; mithin fällt auch DE in AC, und 

 ist ihm gleich, wie es vorausgesetzt wird. Desgleichen ist F=: C, und weil 

 DE in AB, DE in AC fällt, auch D = A. 



§. IX. 



Ehe das Vorhergehende auf die Theorie der Ebene angewendet wer- 

 den kann, müssen, nach Vorgang von Definitionen, noch ein Paar Sätze 

 ausgesprochen werden, die zwar auch näher bewiesen werden könnten, die 

 aber von allen Geometern, entweder stillschweigend, oder ausdrücklich, 

 ohne Beweis zugegeben werden. Daran werden sich dann wieder einige 

 Lehrsätze schliefsen. 



33. Erklärung. Die Gesaramtheit der Orter im Räume, in welche 

 ein Punct oder eine Linie unter dieser oder jener Bedingung gelangen kann, 

 heifst geometrischer Ort des Punctes oder der Linie. 



34. Erklärung. Der geometrische Ort des einen Endpunctes 

 einer geraden Linie, deren anderer Endpunct an demselben Ort im Räume 

 bleibt, heifst Kugelfläche. Der festbleibende Punct heifst Mittelpunct 

 der Kugel, die bestimmte Linie Halbmesser, und zwei Halbmesser, in 

 gerader Linie liegend, Durchmesser. Alle Halbmesser der Kugel sind 

 also gleich lang, tmd die Kugelfläche umschliefst ganz einen endlichen Raum, 

 weil vorausgesetzt wird, dafs der Halbmesser in alle möglichen Lagen komme, 

 um mit seinem Endpuncte die Kugelfläche zu beschreiben. Der Mittelpunct 

 liegt im Innern der Kugel; denn er liegt in der Mitte der Durchmesser, 

 deren Endpuncte sich in der Kugelfläche befi.nden. 



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