zw Theorie der Ebene. 45 



werde mit dem gegebenen Puncte M durch die gerade Linie DM verbun- 

 den : so ist in den Dreiecken y4MD und JBMD, AM — BM, AD = BD 

 und der Winkel DAM ist gleich dem Winkel DBM (20.). Also sind 

 die Dreiecke congruent (19.). Folglich ist der W^inkel AMD dem Winkel 

 BMD gleich, imd folglich giebt es durch den Punct M immer eine gerade 

 Linie MD, die mit der gegebenen Linie AB gleiche Nebenwinkel macht. 



39. Erklärung. Gleiche Nebenwinkel sollen rechte, und gerade 

 Linien im Räume, die sich unter gleichen Nebenwinkeln schneiden, auf ein- 

 ander senkrecht oder Perpendikel zu einander heifsen. 



Nunmehr können die Eigenschaften der Ebene untersucht werden. 

 Es geschieht in den folgenden Sätzen, die diese Eigenschaften aussprechen. 



40. Lehrsatz. Wenn auf einer geraden Linie im Räume, z.B. auf 

 DE (Fig. 18.), zwei andere gerade Linien AC und BC, in einem und dem- 

 selben Puncte C, senkrecht stehen, so dafs also ACD, BCD, und folglich 

 auch die Nebenwinkel ACE und BCE rechte Winkel (39.) sind: so ste- 

 hen alle erzeugenden Linien jeder beliebigen, durch AC und BC ge- 

 henden Ebene, z.B. FC und GC, auf DE ebenfalls senkrecht. 



Beweis. Es sei AB die bestimmende Linie einer beliebigen durch 

 AC und BC gehenden Ebene und CE dem willkührlichen DC gleich. 

 Da alsdann in den Dreiecken ACD und ACE zwei Seiten und der einge- 

 schlossene Winkel gleich sind, nemlich DC ^= EC, AC = AC und ACD 

 ACE, so sind die Dreiecke gleich (<9.). Also ist AD = AE. Auf gleiche 

 Weise, nemlich weil DC =CE, BC=BC und BCD = BCE, sind die 

 Dreiecke BCD und BCE gleich, und folglich ist auch BD = BE. Es sind 

 also in den Dreiecken ADB und AEB die drei Seiten einander gleich, nem- 

 lich AD = AE, BD = BE, wie bewiesen, und AB = AB. Daher sind 

 diese Dreiecke gleich (32.), und es ist der Winkel DAF oder DAG dem 

 Winkel EAF oder EAG gleich, wenn F und G zwei beliebige Puncte der 

 geraden Linie AB, und also FC und GC erzeugende Linien einer durch 

 ^C'und BC gehenden Ebene sind (24.). 



