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Es sind nun ferner in den Dreiecken DAF und EAF, oder in den 

 Dreiecken DAG und EAG, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel 

 gleich, nemlich, wie bewiesen, AD ■=■ AE, DAF z= EAF, oi\ev DAG = 

 EAG, und dazu AF=:AF, oder AG := AG; also sind diese Dreiecke 

 gleich (19.), und folglich ist FD = FE oder GD = GE. 



Es sind also ferner in den Dreiecken DFG und EFC, oder DGC 

 und EGG, die drei Seiten gleich, nemlich FD=.FE oder GD=.GE, wie 

 bewiesen, DC = EC, nach der Voraussetzung, \\nAFC=:FC, oder GC 

 = GC: also sind diese Dreiecke gleich (32.), und es ist folglich FCD =■ 

 FCE, oder GCD = GCE, das heifst: FC und GC machen mit DE 

 gleiche Nebenwinkel, und folglich rechte Winkel. Daher stehen auch 

 die beiden erzeugenden Linien FC und GC auf DE senkrecht.. Das Nem- 

 liche gilt von jeder andern erzeugenden Linie jeder durch AC und BC 

 gehenden Ebene. 



41. Lehrsatz. Wenn zwei sich schneidende gerade Linien BCD 

 und ECF (Fig. 19.) auf einander senkrecht stehen, so also, dafs BCE, 

 ECD, DCF und ECB rechte Winkel sind: so giebt es im Räume immer 

 eine durch ihren Durchschnittspunct C gebende gerade Linie AC, die auf 

 den beiden sich schneidenden geraden Linien zugleich senkrecht steht, 

 so, dafs AGB, ACD, ^C^" und ^CF rechte W'inkel sind. 



Beweis. Es sei GC eine beliebige der auf ECF in C senkrecht 

 stehenden geraden Linien, so also, dafs GCE und GGF rechte Winkel 

 sind. Alsdann steht EC auf BC und GC zugleich senkrecht, weil ECB 

 und ECG nach der Voraussetzung rechte Winkel sind. ■ ' \ 



Es sei AC eine beliebige von den auf BCD in C senkrechten geraden 

 Linien. Es werde in derselben derPunct A willkührlich angenommen, des- 

 gleichen der Punct B und der Punct D in BCD; darauf werde von den ge- 

 raden Linien AB und AD und der geraden Linie BD das Dreieck ABD 

 umschlossen. Dieses Dreieck werde in alle mögliche Lagen gebracht, 

 während BD an der nemlichen Stelle bleibt: so wird der geometrische 

 Ort der Linien BA und AD eine Fläche sein, die einen Raum ganz um- 

 schliefst. Der Punct C liegt im Innern dieses Raumes: also mufs die 

 Linie GC, die durch C geht, nolhwendig die von BA und AD beschriebene 

 Fläche irgendwo schneiden (35.), folglich eine der Linien AB und AD in 

 irgend einer ihrer Lagen treffen. Sie schneide AB in H. 



