zur Theorie der Ebene. 47 



Alsdann sind die drei geraden Linien JBC, HC und AC erzeugende 

 Linien der durch AB, als bestimmende Linie, imd durch C, als bestim- 

 menden Punct, gelegten Ebene. Die gerade Linie EC steht auf zwei dieser 

 erzeugenden Linien , nemlich auf BC und HC, oder GC, der Vorausset- 

 zung nach, senkrecht: also steht sie, gemäfs (40.), auch auf der dritten AC 

 senkrecht. 



Es stand aber AC nach der Voraussetzung auf BCD senkrecht : also 

 steht AC auf BCD und auf £CF zugleich senkrecht, und folglich giebt es 

 immer eine durch C gehende gerade Linie AC, welche auf den beiden ge- 

 gebenen Linien zugleich senkrecht ist. 



42. Lehrsatz. Wenn zwei gerade Linien TDC und EC (Fig. 20.) 

 einander unter einem beliebigen Winkel DCE schneiden, so giebt es im- 

 mer eine, im Räume, durch ihren Durchschnittspunct C gehende, gerade Li- 

 nie ACF, die auf den beiden sich schneidenden geraden Linien zugleich senk- 

 recht steht, so also, dafs ACD und ACE rechte Winkel sind. 



Beweis I. Es sei D ein beliebiger Punct in der Linie DC, und es 

 werde EC ^ DC genommen. B sei derjenige Punct der geraden Linie DE, 

 welcher von D und E gleich weit entfeint ist, imd der immer Statt findet 

 (1 1.). Alsdann sind in den beiden Dreiecken DBC und EBC die drei Seiten 

 gleich, nemlich DC = EC und DB = BE, nach der Voraussetzung, und BC 

 = BC. Also sind die Dreiecke gleich (32.), und folglich sind die Winkel 

 DBC und EBC gleich, und mithin, als Nebenwinkel, rechte (38.). 



II. Nun giebt es, nach (41.), immer eine durch den Durchschnitts- 

 punct B der unter rechten Winkeln sich schneidenden geraden Linien CB 

 und ED gehende gerade Linie, die auf beiden zugleich senkrecht steht. Sie 

 sei GB. In derselben werde willkührlich der Punct G genommen, und mit 

 C durch die, beliebig zu verlängernde, gerade Linie CGL verbunden. Die 

 gerade Linie EB steht also nunmehr auf den beiden Linien BC und GB zu- 

 gleich senkrecht. 



III. Es sei ferner AC eine der auf BCK senkrechten geraden Linien. 

 Es werde in derselben der Punct A und in der verlängerten BC der Punct 

 K willkührlich genommen, und durch die geraden Linien AB und AK mit 

 BK das Dreieck y/ßÄT umschlossen. 



IV. Dieses Dreieck werde in alle möglichen Lagen gebracht, wäh- 

 rend BCK an der nemlichen Stelle bleibt: so wird der geometrische Ort 



