zur TJteorie der Ebene, 49 



X. Nun sind BC und EC zwei erzeugende Linien der durch DE als 

 Lestimmende Linie und durch C als bestimmenden Punct gehenden 

 Ebene, und DC ist eine dritte erzeugende Linie dieser Ebene. Auf BC 

 und EC steht yiC senkrecht (IX.): folglich steht es auch auf Z)C senkrecht 

 (40.), und folglich giebt es immer eine gerade Linie AC, die auf beiden 

 gegebenen, imter einem beliebigen Winkel DCE sich schneidenden, geraden 

 Linien DC und EC zugleich senkrecht steht. 



43. Erklärung. Der geometrische Ort der Perpendikel durch 

 einen festen Punct einer festen geraden Linie, auf dieselbe, soll Perpendi- 

 cular-Fläche heifsen; die feste Linie Axe, die Perpendikel Strahlen, 

 der feste Punct Mittelpunct. (Eine solche Perpendicular- Fläche ist also 

 das, was Fourier Ebene nennt.) 



44. Lehrsatz. Durch keinen Punct einer geraden Linie giebt es 

 andere Perpendikel auf dieselbe, als diejenigen, welche in der Perpendi- 

 cular -Fläche durch den bestimmten Punct liegen. 



Beweis I. Es sei FC Fig. 21. ein Perpendikel auf die gerade Linie 

 AB durch den Punct C in derselben, welches Perpendikel nach (38.) immer 

 Statt findet. Es werde in FC der Punct D, imd in AB der Punct A und 

 der Punct B willkührlich angenommen, und D mit A und mit B durch die 

 geraden Linien AD und BD verbunden. Die Linie CD werde, mit den 

 beiden Linien AD und BD zugleich, in alle möglichen Lagen gebracht, 

 während AB an der nemlichen Stelle bleibt: so ist der so beschriebene 

 geometrische Ort der geraden Linie Z>C die Perpendicular - Fläche 

 auf die Axe AB durch den Punct C: die geometrischen Orte der beiden 

 Dreiecke DCA und DCB aber sind Flächen, die jede für sich einen Raum, 

 namentlich die Räume ALD und BLD, ganz umschliefsen. 



II. Nun sei, wenn es möglich ist, GC ein Perpendikel durch C auf 

 AB, welches nicht in die Perpendicular-Fläche DC fällt, das heifst: eine 

 gerade Linie, die mit AB gleiche Nebenwinkel GCA ■= GCB macht, 

 ohne dafs GC eins der Perpendikel DC wäre. 



III. Da C im Innern der ganz geschlossenen Fläche ADBL liegt, so 

 mufs die gerade Linie CG, die durch C geht, diese Fläche nothwendig schnei- 

 den (36.). Und zwar mufs sie eine der beiden Linien DB und DA in irgend 

 einer ihrer Lagen ti-effen. Sie treffe DB in E. 



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