zur Theorie der Ebene. 51 



Mithin ist kein Perpendikel GC auf AB, durch C, aufserhalb der 

 Perpendicular- Fläche auf die Axe AB durch C möglich. 



45. Lehrsatz. Durch jeden Punct einer geraden Linie giebt es nur 

 eine Perpendicular-Fläche. 



Beweis. Es giebt kein Perpendikel durch den bestimmten Punct 

 der Linie, \YeIches nicht in einer Perpendicular-Fläche durch denselben 

 läge (44.). In einer zweiten Perpendicular-Fläche aufserhalb der ersten 

 müfste aber nothwendig ein solches Perpendikel angetroffen werden. Also 

 giebt es keine zweite, und mithin nur eine Perpendicular-Fläche durch 

 einen und denselben Punct. 



46. Lehrsatz. Wenn eine gerade Linie, z.B. FC, Fig. 21, auf 

 einer andern AB senkrecht steht, das heifst, mit ihr gleiche Nebenwinkel 

 FCA und FCB macht: so giebt es in einer durch FC und AB gelegten 

 Ebene kein zweites Perpendikel durch C auf AB, neben FC. 



Beweis. Gesetzt, DB wäre die bestimmende Linie einer durch 

 FC und BC gelegten Ebene, und GC, wenn es möglich, ein zweites Per- 

 pendikel durch C 3.\\i AB, in dieser Ebene, also durch DB gehend: so müfste 

 GC nothwendig in der durch C gehenden Perpendicular-Fläche auf 

 AB liegen; denn aufser den Perpendikeln, welche diese Fläche bilden, 

 giebt es zufolge (44.) kein Perpendikel auf AB. Läge nun aber GC in der 

 Perpendicular-Fläche durch C auf AB, so wäre BC oder AC auf den bei- 

 den in der Ebene DCB liegenden Linien CD und EC zugleich senkrecht ; 

 dann aber wäre BC oder AC, vermöge (40.), auch auf jeder andern erzeu- 

 genden Linie der Ebene DCB senkrecht, also auch auf BC. Also wäre BC 

 auf sich selbst senkrecht. Da dieses nicht sein kann, so ist auch keine 

 Linie GC, durch C, in der Ebene Z?C'^ möglich, die auf y^i5 senkrecht wäre. 

 Eben so wird bewiesen, dafs keine solche Linie in irgend einer Ebene durch 

 AC und FC möglich ist. 



47. Lehrsatz. Die im Räume auf zwei sich schneidenden gera- 

 den Linien zugleich in ihrem Durchschnitts -Puncte senkrechte gerade 

 Linie, die immer Statt findet (42.), hat keine andere neben sich, die, eben- 

 falls durch den Durchschnitts -Punct der sich schneidenden geraden Linien 

 gehend, auf beiden zugleich senkrecht stände. 



Beweis. Es sei DC Fig. 18. auf den beiden in C sich schneidenden 

 geraden Linien AC und BC zugleich senkrecht, KC aber sei, wenn es an- 



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