ziii- Theorie der Ebene. 53 



pendikel DC, zwi JC und BC zugleicli, durch 6'(47.). Desgleichen giebt 

 es auf dieses DC nuv eine Perpendicular- Flüche durch C (45.). Also giebt 

 es nur eine Perpendicular -Fläche, die durch AC und BC geht. 



49. Lehrsatz. Jede gei-ade Linie, die durch zwei beliebige Puncte 

 einer Ebene geht, liegt ganz in dieser Ebene. 



(Dieses ist der in der Vorbemerkung gedachte Satz, der gewöhnlich, 

 ohne Beweis, als Definition der Ebene aufgestellt wird.) 



Beweis. Es sei C Fig. 22. der bestimmende Punct, y4B die be- 

 stimmende Linie der gegebenen Ebene; AC und BC seien zwei beliebige 

 erzeugende Linien derselben, DC die Gerade, welche auf diesen beiden 

 erzeugenden Linien zugleich senkrecht steht, und welche nach (42.) immer 

 existirt, deren es aber nach (47.) nur eine giebt: so wird, indem nunmehr 

 AC und BC zugleich auf Z)6' in einem imd demselben Puncte C senkrecht 

 stehen, ganz wie in (40.) bewiesen, dafs auch alle übrigen erzeugenden 

 Linien der Ebene, also auch z.B. FC, GC etc., auf Z?C senkrecht sind. 

 Es giebt keine erzeugende Linie der Ebene, die nicht auf Z?C perpendi- 

 culair wäre. Die Ebene ACB fällt also in ihrer ganzen Ausdehnung in die 

 Perpendicular-Fläche durch AC und BC, deren Axe durch C geht. 



Nun seien H und K zwei beliebige, in der durch AB und C bestimm- 

 ten Ebene liegende, Puncte. Dieselben befinden sich, da sie in der Ebene 

 liegen sollen, nothwendig in zwei erzeugenden Linien derselben, nemlich 

 in den erzeugenden Linien HC und KC. Also sind HC und Ä'C auf DC 

 senkrecht (40.). Deshalb aber sind nun wieder, vermöge (40.), auch alle 

 andern geraden Linien, die durch C und durch die verschiedenen Puncte der 

 geraden Linie HK gehen können, auf DC senkrecht. Es giebt keine gerade 

 Linie durch HK und C, die nicht auf Z?C senkrecht wäre. Die Ebene UCK 

 fällt also ebenfalls, in ihrer ganzen Ausdehnung, in die Perpendicular- 

 Fläche durch AC und BC, deren Axe durch C geht. 



Es giebt aber, zufolge (48.) nur Eine Perpendicular-Fläche 

 durch AC und BC, deren Axe durch C geht. Also fallen die beiden 

 Ebenen ACB und HCK nothwendig in einander, und folglich liegt die, 

 ganz in der Ebene HCK sich befindende Linie HK, auch ganz in der 

 Ebene ACB. 



50. Lehrsatz. Durch zwei sich schneidende gerade Linien kann 

 nur eine Ebene gelegt werden. 



