zur Tlieorie der Ebene. 55 



53. Lehrsatz. Die Perpendicular- Fläche durch zwei sich schnei- 

 denge gerade Linien, deren es nur eine giebt (-48.), geht durch alle die gera- 

 den Linien, durch welche die Ebene geht, deren nur eine durch die neni- 

 lichen sich schneidenden Linien gelegt werden kann (50.). 



Beweis. Jede gerade Linie durch zwei beliebige Puncte der Ebene 

 liegt ganz in ihr (49.). Also geht jede gerade Linie in der Ebene auch durch 

 die beiden sich schneidenden Linien, die die Ebene bestimmen. Diese aber 

 liegen zugleich in der Perpendicular -Fläche. Also verbindet die Linie zu- 

 gleich zwei Puncte der Perpendicular- Fläche. Deshalb liegt sie ganz in 

 dieser (52.). Also geht die Perpendicular -Fläche durch jede gerade Linie, 

 durch welche die Ebene giebt. 



54. Lehrsatz. Wenn eine gerade Linie CF oder CG Fig. 18. auf 

 der nemlichen Geraden im Räume CD senkrecht steht, die auf zwei anderen 

 geraden Linien AC und BC zugleich perpendiculair ist, so liegt sie mit die- 

 sen beiden Linien in einer und derselben Ebene. 



Beweis. Da nach der Voraussetzung AC, FC, BC, GC zugleich auf 

 DC senkrecht sind, so liegen sie in der Perpendicular - Fläche auf die 

 Axe DC durch C, deren es nur eine giebt (45.). Diese Fläche aber fällt mit 

 der Ebene durch ^C imd BC, deren es nur eine giebt (50.), zusammen (53.). 

 Also liegen FC und GC mit JC und BC in einer und derselben Ebene. 



55. Lehrsatz. Wenn der bestimmende Punct einer Ebene, nebst 

 zweiPuncten ihrer bestimmenden Linie, in einer andern Ebene liegen, so 

 fallen die beiden Ebenen ganz in einander. 



Beweis. Da vorausgesetzt wird, dafs z.B. der bestimmende Puncl 

 C Fig. 23. nebst zwei Puncten B und D der bestimmenden Linie BD 

 der Ebene BCD in der Ebene FJE liegen, so müssen nothwendig die drei 

 Puncte B, C und D, die nicht in eine und dieselbe gerade Linie fallen kön- 

 nen, in erzeugenden Linien ^E, AG und AF der Ebene FAE sich befin- 

 den. Dann fällt aber zunächst die bestimmende Linie BD der Ebene 

 BCD ganz in die Ebene FAE (49.). Und deshalb befinden sich weiter zwei 

 Puncte jeder erzeugenden Linie BC, HC, KC, DC etc., nemlich die Puncte 

 B und C, L imd C, M und C, D und C u. s. w. in der Ebene FAE. Also 

 liegen auch sämmtliche erzeugende Linien der Ebene BCD ganz in der 

 Ebene FAE (49.), und folglich fallen die beiden Ebenen ganz in einander. 



