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56. Lehrsatz. Jeder Punct einer Ebene kann der Mittelpunct einer, 

 und nur einer Perpendicular- Fläche sein, in welche dann die Ebene in 

 ihrer ganzen Ausdehnung fällt. 



Beweis. Es sei in der Ebene F^E Fig. 23., deren bestimmender 

 Punct A und deren bestimmende Linie £F ist, C ein beliebiger Punct, 

 welcher der Mittelpunct einer Perpendicular -Fläche sein soll: so wird vor- 

 ausgesetzt, dafs C in irgend einer erzeugenden Linie ^Cder Ebene liegt: 

 in einer Linie also, die die bestimmende Linie £F schneidet, etwa in G. 



Nun sei £ irgend ein anderer Punct der bestimmenden Linie der 

 Ebene FAE, und EC und AGC seien zwei Strahlen der Perpendicular -Ebene 

 durch C. Alsdann hat die bestimmende Linie der Ebene FAE zwei Puncte 

 E und G mit der Perpendicular -Fläche durch EC und GC gemein. Deshalb 

 liegt sie ganz, und also jeder ihrer Puncte in ihr (51.). Also hat nunmehr 

 ferner jede erzeugende Linie der Ebene FAE, z.B. AE, JQ etc., zwei 

 Puncte mit der Perpendicular -Fläche gemein, nemlich die Puncte A und E, 

 A und Q u. s.w. Also liegen alle erzeugenden Linien der Ebene ganz in 

 der Perpendicular- Fläche durch EC und GC, und folglich liegt in derselben 

 die Ebene selbst, in ihrer ganzen Ausdehnung. 



Eben so wird, wenn man statt E ii-gend einen andern Punct der be- 

 stimmenden Linie der Ebene, z. B. den Pimct F, annimmt, bewiesen, dafs 

 die Ebene ganz in der Perpendicular- Fläche durch FC und GC liegt. 



Nun giebt es aber nur eine gerade Linie im Räume, die auf iTC und 

 GC zugleich senkrecht ist (47.), also nur eine Axe der Perpendicular- 

 Fläche durch EC und GC. Diese Axe, da sie auf den beiden erzeugenden 

 Linien EC und GC einer Ebene durch EF und C senkrecht ist, ist aber auch 

 auf jeder andern erzeugenden Linie dieser Ebene, z. B. auf FC, senkrecht 

 (40.). Also ist sie auch auf GC und FC zugleich senkrecht, und folglich die 

 Axe der Perpendicular -Fläche durch GC und FC, deren es wiederum nur 

 eine giebt. 



Die beiden Perpendicular -Flächen durch £"£■ und GC, und durch FC 

 und GC, so wie jede andere, in welche die Ebene EAF fallen kann, haben 

 also eine gemeinschaftliche Axe; zugleich gehen alle durch den Punct 

 C dieser Axe. 



Es giebt aber durch einen und denselben Punct einer Axe nur eine 

 Pei'pendicular- Fläche auf diese Axe (45.). Also giebt es immer eine Per- 



