zur Tlieorie der Ebene. 57 



pendicular- Fläche für jeden Punct einer Ebene, in welcte die Ebene ganz 

 fällt, aber nur eine. 



57. Lehrsatz. Jede gerade Linie, so lang sie auch sein mag, kann, 

 unter einem bestimmten ^Mnkel gegen eine andere, die sich in einer gege- 

 benen Ebene befindet, in diese Ebene gelegt werden. 



Beweis. Der Punct der Ebene, in welcher sich die beiden geraden 

 Linien schneiden sollen, werde als der IMittelpunct derjenigen Perpendicular- 

 Fläche betrachtet, in welche die Ebene fällt, was immer angeht (56.). Als- 

 dann ist die gegebene Linie einer der Strahlen der Perpendicular- Fläche; 

 die in die Ebene zu legende zweite Linie aber wird ein anderer und derjenige 

 Strahl der Perpendicular -Fläche sein, der mit dem ersten den bestimmten 

 Winkel macht. Und da nun die Länge der Strahlen unbegrenzt ist, so kann 

 die in die Ebene zu legende Linie so lang sein, als man will. 



58. Lehrsatz. Jedes Dreieck kann in eine bestimmte Ebene und 

 an eine bestimmte Linie in derselben gelegt wei'den. 



Beweis. Die bestimmte Seite werde in die gegebene Linie gelegt: 

 so kann eine zweite Seite des Dreiecks, unter dem bestimmten Winkel des- 

 selben, an jene Linie, ebenfalls in die Ebene gelegt werden (57.). Dann 

 aber fällt die dritte Seite des Dreiecks, weil sie zwei Puncte der vorigen 

 beiden, imd folglich zwei Puncte der Ebene verbindet, ebenfalls ganz in 

 dieselbe (49.). 



59. Lehrsatz. Durch jedes Dreieck kann eine Ebene gelegt wer- 

 den, in welche die drei Seiten desselben in ihrer ganzen Ausdehnung fallen, 

 aber nur eine. 



Beweis. Es sei ABC Fig. 24. das Dreieck, durch welches eine 

 Ebene gelegt werden soll, M sei der bestimmende Punct und DE die 

 bestimmende Linie einer Ebene. Alsdann werde M z. B. in irgend eine 

 Gerade AK, die durch A und durch irgend einen Punct K Atx A gegenüber 

 liegenden Dreiecks -Seite BC geht, gelegt. Ferner werde die bestimmende 

 Linie der Ebene durch die Linie AKM, etwa in /, gelegt und zugleich 

 durch die Gerade BM, die B und M verbindet, etwa in H. Alsdann sind 

 AM und BM zwei erzeugende Linien der Ebene HMI; AB hat also die 

 beiden Puncte A und B, und BC die beiden Puncte B und K mit der 

 Ebene gemein. Deshalb fallen AB und BC ganz in die Ebene (-49.). Und 

 da ferner A C die beiden Pimcte A und C mit der Ebene gemein hat, so 

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