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Es ist also hier oben in (2.) nunmehr ' '■''- 



' 3. DCE + R = JCE. 



Setzt man dieses oben in (1.), so findet sich , 



' ■ .,t:i. !) . 4. ECD + ACE = 2E; ,• '■,■,. 



welches der Lehrsatz ist. " > ;] 



64. Lehrsatz. Wenn zwei Winkel, die zusammen so grofs als zwei 

 Rechte sind, den Scheitel und einen Schenkel gemein haben, und in einer 

 und derselben Ebene liegen, so liegen ihre andern Schenkel nolhwendig in 

 gerader Linie. 



Beweis. Läge der Schenkel eines Winkels, der mit dem Winkel 

 ACB Fig. 25. den andern Schenkel AC und den Scheitel C gemein hat, mit 

 ihm zusammen so grofs ist, als zwei Rechte, und zugleich mit ihm in einer 

 und derselben Ebene liegt, nicht in der geraden Linie BCG, so liege er 

 z.B. in CD, oder in CE. 



Da vorausgesetzt wird, dafs CD und CE mii AC und BC in einer 

 und derselben Ebene liegen, so steht CD, oder CE, zufolge (40.), noth- 

 wendig auf der Geraden im Räume senkrecht, die aui AC und BC zugleich 

 perpendiculair ist, die immer Statt findet (42.), und deren es nur eine giebt 

 (47.) Desgleichen steht CG auf dieser nemlichen Geraden senkrecht, weil 

 BCG eine gerade Linie sein soll. 



Da aber auf diese Weise CD und CE auf der nemlichen Geraden 

 senkrecht sind, die auf CA und CG zugleich perpendiculair steht, so liegen 

 sie mit CA und CG in einer und derselben Ebene (54.). Deshalb ist denn 

 y^CZ> kleiner und ACE gröfser, a[sACG{2b.). Es ist aber BGA + A CG 

 = 27? (63.); also kann nicht BCA + ACD und auch nicht BCA + ACE 

 gleich zwei Rechten sein, und daher kann der Schenkel des Winkels, der, 

 mit ACB zusammen, in der nemlichen Ebene, so grofs sein soll, als 

 zwei Rechte, nicht in CD oder CE, sondern nur in die gerade Linie 

 BCG Mlen. ■ ■ : .■.' i : • 



Der Beweis von (63.) und (64.) ist ebenfalls dem Euklidischen, Buch 1. 

 Satz 14., nachgebildet, hat aber die für die gegenwärtigen Ansichten noth- 

 wendige Vervollständigung erhallen. 



65. Lehrsatz. Von jedem Winkel giebt es, in seiner Ebene, gleich 

 grofse Hälften. 



