zur Theorie der Ebene. 6 1 



Beweis. Ist der Winkel ^C5 Fig. 26. so grofs, als zwei Rechte, so ist 

 die Linie ACB eine Gerade (64.), und für jeden Punct C einer geraden Linie 

 giebt es eine Gerade CD, die mit AB gleiche Nebenwinkel macht (38.). 



Ist der Winkel ACB kleiner oder gröfser, als zwei Rechte, so werde 

 BC ■=■ AC genommen, und A mit B durch die gerade Linie AB verbunden. 

 Diese gerade Linie kann nicht durch C gehen; denn sonst müfste irgend eine 

 durch C gehende, mit AC und BC iu einer und derselben Ebene liegende, 

 gerade Linie CD mit ACB Nebenwinkel machen, deren dem W^inkel ACB 

 gleiche Summe zwei Rechte wäre (63.), was der Voraussetzung entgegen 

 ist. Nun werde in der von ACB verschiedenen geraden Linie ADB, AD 

 = BD genommen, was immer angeht (H-). Alsdann sind in den Dreiecken 

 ACD und BCD alle drei Seiten die nemlichen; denn es ist AC:= BC und 

 AD = BD, nach der Voraussetzung, und CD ist sich selbst gleich. Also 

 sind die Dreiecke congruent (32.), und folglich sind die Winkel ACD und 

 BCD, die, weil CD durch AB geht, in der Ebene des W^inkels ACB liegen, 

 einander gleich, und folglich gleich grofse Hälften des Winkels ACB, in 

 dessen Ebene. 



66. Lehrsatz. Wenn in der Ebene eines W^inkels ACB Fig. 27. 

 ein kleinerer Winkel ACD liegt, mit seinem Scheitel C und einem Schenkel 

 AC in dem Scheitel und dem einen Schenkel des gröfseren, so giebt es immer 

 einen Winkel ACE, der noch kleiner ist, als der kleinere W^inkel ACD. 



Beweis. Durch fortgesetzte Halbirung des gröfseren Winkels ACB, 

 die nach (65.) immer Statt findet, kommt man auf einen Winkel, der kleiner 

 ist, als jeder beliebige Winkel, folglich auch kleiner, als der Winkel ACD. 



§• XI. 



Dieses wären die nothwendigsten Sätze aus der Theorie der Ebene, so 

 wie sie sich, nach meinem unmafsgeblichen Ermessen, auf die Grundsätze 

 (25., 35. und 36.), die schon von den Geometern, entweder stillschweigend 

 oder ausdrücklich, zugegeben werden, wie ich glaube, folgerecht errichten 

 läfst. Es werden sich daran ohne Schwierigkeiten die ferner uöthigen Sätze 

 anfügen lassen. 



In den bisherigen Sätzen ist nirgend der Begriff der Parallelen vor- 

 gekommen. Es mufs daher noch das Nothwendigste davon hinzugefügt wer- 



