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den, und zwar werde ich kürzlich diejenige Theorie der Parallelen geben, 

 die den Begriff von Winkel- und Parallelräumen voraussetzt, und die 

 ich für die beste halte: ungefähr in der Gestalt, wie ich sie kürzlich in dem 

 Journale der Mathematik Band XI. Heft 2. S. 198. aufgestellt habe, aber 

 den hiesigen Sätzen von der Ebene gemäfs eingerichtet und vervollständigt. 



67. Lehrsatz. Wenn zwei gerade Linien MAP und NCQ Fig. 13. 

 in einer und derselben Ebene liegen und mit einer dritten ACH, die sie 

 schneiden, an ähnlichen Seiten gleiche Winkel M AH = NCH muchtn, so 

 begegnen sie sich nirgend. •. . ' • :■; - •- 



Beweis. Gesetzt, es sei anders, und sie begegneten sich irgendwo : 

 so geschehe es in B. Die gerade Linie BCD, da sie die beiden Puncte B 

 und C mit der Ebene gemein hat, in welcher nach der Voraussetzung MP 

 und IS F liegen, wird ganz in ihr sich befinden. Es sei E der von A und C 

 gleich weit entfernte Punct, der, zufolge (1 1.), nothwendig existirt, BEF sei 

 eine gerade Linie, FF = BF und F mit C durch die gerade Linie CF ver- 

 bunden: so wird BF, weil es mit der Ebene durch MP und JVQ die beiden 

 Puncte B und F gemein hat, ganz in ihr liegen; desgleichen CF, weil es 

 den Punct C und den Punct F der Linie BF mit der Ebene gemein hat. Da 

 in den Dreiecken AFB und CEF zwei Seiten und der eingeschlossene Win- 

 kel die nemlichen sind, nemlich AE = FC, BE = EF, und die Scheitel- 

 winkel bei ^, so sind die Dreiecke congruent (IP.), und folglich ist der Win- 

 kel ECF dem Winkel MAH gleich. Es ist aber der dem Winkel MAH der 

 Voraussetzung nach gleiche Winkel NCH seinem Scheitelwinkel ECQ gleich; 

 also MAH =1 ECQ. Beide Linien CF und CQ liegen aber in einer und 

 derselben Ebene ; also fällt CF, weil sie mit CE denselben Winkel macht, 

 wie CQ, nothwendig mit CQ zusammen. 



Schnitte also CQ die MP in B, so müfste BCF eine gerade Linie 

 sein. Es liegt aber C nicht in der geraden Linie BEF: denn läge es in 

 derselben, so lägen FC und AEC darin, folglich auch BA und BC, und 

 BA läge in BC, mithin fielen BA und CF zusammen, welches der Voraus- 

 setzung entgegen ist. Es kann also BCF keine gerade Linie sein, weil es sonst 

 deren zwei, von einander verschiedene, die eine durch E, die andere durch 

 den Punct C, gäbe, der nicht in BEF liegt. Es kann folglich auch CQ die 

 MP nicht in B schneiden , und eben so wenig in irgend einem andern 

 Puncte; auch, ebenso, nicht A/P die iV^() irgendwo. 



