zur Theorie der Ebene. 63 



Dieser Beweis ist dem Euklidischea des nemlichen Lehrsatzes nachge- 

 bildet, aber nach den gegenwärtigen Ansichten vervollständigt. 



68. Lehrsatz. Zwei gerade Linien yiC und BD Fig. 28., die von 

 einer dritten CDN so geschnitten werden, dafs die beiden innern, an einerlei 

 Seite der letztern liegenden, Winkel ACD und ßZ^C zusammen kleiner als zwei 

 Rechte sind, treffen, genugsam verlängert, an eben der Seite zusammen. 



Beweis. Es wird vorausgesetzt, dafs AC und BD in einer und der- 

 selben Ebene liegen. Li dieser Ebene befindet sich dann auch die Gerade 

 CDN, weil sie zwei Puncte, C und D, mit der Ebene gemein hat. 



Da BDC+BDN = 2R ist (63.), und nach der Voraussetzung BDC 

 + ACD < :R sein soll, so ist JCD < BDN. Es sei FClY = BDN, und 

 FC liege in der nemlichen Ebene, wie alle übrigen Linien : so ist nothwen- 

 dig FCN > ACN, imd zwar um den Winkel FCA. 



Welches nun auch der Winkel FCA sein mag, so kann immer, durch 

 fortgesetzte Halbirung des Winkels FCN, ein Winkel FCE angegeben wer- 

 den, der kleiner ist, als FCA (66.). Also ist FCN = n . FCE, wo n eine 

 endliche Zahl bezeichnet. 



So viele Winkelräume, jeder gleich FCE, als die Zahl n Einheiten 

 hat, an einander gelegt, füllen also den ganzen Winkelraum FCN, das 

 heifst, den Theil der Ebene aus, den die Linien FC und CN begrenzen. 

 Und da FCA> FCE, so füllen «Winkelräume, jeder gleich FCA, an ein- 

 ander gelegt, einen W^inkelraum aus, der gröfser ist, als FCN. 



Nun sei DG=^ Gl = IL etc. = CD und CL = n . CD. Ferner seien 

 GH, IK, LM etc., sämmtlich in der Ebene der übrigen Linien liegend, mit 

 BD und FC parallel. Alsdann sind alle die Parallelräume FCDB, BD GH, 

 HGIK etc., das heifst, diejenigen Theile der Ebene, die von den Linien 

 FC, CD, DB; von den Linien BD, DG und GH etc. begrenzt werden, 

 congruent, und folglich auch gleich grofs. Also ist der Parallelraum 

 FCLM=u.FCDB. 



Der Parallelraum FCLM ist aber kleiner, als der Winkelraum FCN; 

 denn er läfst von demselben noch den Winkelraum MLN übrig. Also ist er 

 um so mehr kleiner, als der Winkelraum n . FCA, der gröfser war, als FCN- 



Es ist also n . FCDB < n . FCA : folglich auch FCDB < FCA. Da- 

 her kann der Winkelraum FCA nicht in dem Parallelraume FCDB enthalten 

 sein, und daher mufs AC die BD nothwendig irgendwo schneiden. 



