64 - Grelle: zur Theorie der Ebene. 



- '; > 69. Anmerkung. Die gerade Linie PQ Fig. H., durch den be- 

 stimmenden Punct A einer Ebene, begegnet, wenn sie mit irgend einer er- 

 zeugenden Linie derselben, z. B. mit ^E, gleiche Winkel BEe^ = PJe^ 

 macht, der bestimmenden Linie BC der Ebene nirgend (67.). Sie ist die 

 einzige, welche diese Eigenschaft hat; denn jede andere gerade Linie MN, 

 durch A, die mit JE ungleiche Winkel macht, begegnet der bestimmenden 

 Linie BC nothwendig (68.). Die Lage der Linie PQ, und die Lage dieser 

 allein, wird also durch die bestimmende Linie der Ebene nicht gegeben. 

 Sie wird aber dadurch bestimmt, dafs sie auf derjenigen Geraden im Räume 

 senkrecht steht, die auf beliebigen zwei erzeugenden Linien der Ebene zu- 

 gleich perpendiculair ist; oder auch dadurch, dafs sie durch irgend eine 

 Gerade in der Ebene geht, die nicht mit BC parallel läuft. r'. . 



§. xn. 



Die beiden Sätze (67.) und (68.) enthalten bekanntlich die Theorie der 

 Parallelen, und der zweite Satz (68.) ist wörtlich das cilfte Euklidische 

 Axiom. Gegen den beigefügten Beweis desselben läfst sich nichts weiter ein- 

 wenden, als dafs in demselben Figuren zu Hülfe genommen werden, die 

 nicht ganz umschlossen sind. Dies bringt die Schwierigkeit mit sich, 

 dafs, nachdem von dem Winkelraume FCN Fig. 28. der Parallelraum FCLM 

 weggenommen worden, noch ein Winkelraum MLN übrig bleibt, der dem 

 Winkelraume ECJV gleich ist, so dafs also scheinbar Verschiedenes 

 gleich sein soll, was ein Widerspruch zu sein scheint. Die Schwierigkeit 

 entsteht daraus, dafs ungleichartige Gröfsen, nemlich Winkel- und Pa- 

 rallelräume, mit einander verglichen werden. Allein, dafs der Winkel ECA 

 nicht in dem Parallelraume FCDB enthalten sein kann, ist auf dieselbe Art 

 gewifs, als dafs ein Körper nicht in einer Linie, eine Linie nicht in einem 

 Puncte Raum findet. Und da nun die Congruenz der verglichenen Figu- 

 ren bei dem Beweise eben so streng Statt findet, wie bei jedem andern Be- 

 weise von Sätzen über geschlossene Figuren, so scheint mir der beigefügte 

 Beweis befriedigend zu sein. 



