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SO weit nämlich nur von Gründen, nicht von Anwendungen die Rede ist. 

 In so fern hoffe ich auf Entschukh'gung, dafs ich zum Gegenstande der mir 

 heute obhegenden Vorlesung die angezeigte elementare Abhandlung des Eu- 

 klides gewählt habe. Ich habe geglaubt, dafs, ohne seiner Theorie das ihr 

 eigne Alterthümliche zu entziehen, ihre innere logische Bündigkeit und ihre 

 äufsere Abrundung und das Ebenmaals aller ihrer Theile sich in ein helleres 

 Licht setzen liefse, als der Anblick des Originales selbst gewährte, und es 

 eines solchen Versuches um so mehr verlohnen dürfte, als derselbe Gegen- 

 stand bis jetzt keinen Bearbeiter gefunden hat. Denn der algebraische Com- 

 raentar von Meier Hirsch, dessen Krügel's Wörterbuch erwähnt, ist mehr 

 eine blofse Übersetzung des Alten in die Sprache der Algebra, die jener 

 nicht kannte und in welcher das Originale seiner Methode ganz und gar ver- 

 schwindet. 



Um mit dem W^ortverstande der Worte: Rational (^yitov) und Irrational 

 (aXoyov) den Anfang zu machen, so ist jede wirkliche Zahl, nach den in ihr 

 enthaltenen Einheiten, ein ^>itoi', läfst sich durch ein blofses Wort darstellen, 

 wogegen eine räumliche Gröfse einer bildlichen Beschreibung im Räume 

 bedarf. 



Da nun die Alten, nach des Euklides Definition, unter Zahl nichts 

 anders verstanden, als eine begrenzte Menge gleicher Einheiten, so konnten 

 sie nur rationale Zahlen für solche anerkennen, und diese waren alle 

 nach der Einheit unter sich mefsbar. Der Raum dagegen bot Gröfsen dar, 

 welche, wiewohl vollkommen gegeben, unter sich nach keiner Einheit com- 

 niensurabel waren. Daher kommen in Euklides Zahlentheorie die Unter- 

 schiede des Rationalen und Irrationalen; das Commensurabele und Incom- 

 mensurabele, gar nicht vor. Diese sind blos beschränkt auf gerade Linien 

 und Flächen. 



Und hierin zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen jener alten 

 Mathematik und der heutigen. In der letzteren wird der Raum selbst, sogar 

 werden die entgegengesetzten Richtungen in ihm in Zahl verwandelt: daher 

 sie unter irrationalen Gröfsen nur Zahlen versteht, die aber nach keiner 

 Einheit wirklich ausgesprochen (^-/itÖv) sondern als ideal nur in dem Verfah- 

 ren können erkannt werden, wodurch es möglich wird, sie der Form einer 

 wirklichen Zahl, einer wörtlich angebbaren Menge von Einheiten 

 so nahe zu bringen, als man will. 



