über das zehnte Buch der Eh'menle des Enklides. 343 



Wenn nun solche nicht angebbarc Irrationalzahlen, z.B. die Quadrat- 

 wurzel aus 2, zu rationalen oder irrationalen addirt werden, so fällt in die 

 Augen, dafs dies nur in Zeichen, nicht aber in der Wirklichkeit, geschehen 

 könne, weil es einen Widerspruch enthält, eine nicht angebbare mit einer 

 wirklichen Zahl in ein Ganzes zu verbinden. Dagegen ist nichts was im 

 Raum das Zusammenfügen rationaler und irrationaler Geraden oder Figuren 

 verhinderte. Denn das irrationale Räumliche ist in seinen Grenzen eben so 

 gegeben, als das rationale, und ihre Verschiedenheit von einander liegt allein 

 darin, dafs kein gemeinschaftliches Maafs der Einheit für beides gefunden 

 werden kann. 



Einem Widerspruche von der angegebenen Art entgingen die Grie- 

 chischen Geometer, indem sie den Begriff des Rationalen auf den Raum be- 

 schränkten. Eine beliebige Raumgröfse wurde als Rational zum Grunde ge- 

 legt, und damit jede andere verglichen, die dann selbst rational war oder 

 irrational, je nachdem eine gemeinschaftliche Maafseinheit für beide vorhan- 

 den war, oder nicht. Auf solche Weise fiel die Theorie des Rationalen und 

 seines Gegensatzes, der Geometrie anheim, und veranlafste das elegante ^ er- 

 fahren, welches wir bei Euklides antreffen. 



Die irrationalen Geraden des Euklides werden durch Zusammensetzung 

 oder durch Trennung zweier Stücke gebildet: daher führen die Zusammen- 

 gesetzten die Namen Binomien oder Bimedien. Die beiden Geraden, 

 welche die ganze irrationale zusammensetzen, sind jederzeit unter sich in- 

 commensurabel; dies hindert jedoch nicht, dafs Quadrate, die über ihnen 

 gebildet werden, unter sich zusammen niefsbar sein können und rational. 

 Wären diese letzteren incommensurabel, dann auch nothwendig ihre Seiten 

 oder Wurzeln. Sind aber zwei Gerade nicht nach einer gemeinschaftlichen 

 Einheit mefsbar und doch das über jeder gebildete Quadrat rational; wird 

 dann aus ihnen ein Rechteck gebildet, welches nothwendig irrational sein 

 mufs, und dies in ein Quadrat verwandelt, so heifst die Seite eines solchen 

 eine Medie; und die aus Medien zusammengesetzten Irrationalen bilden eine 

 eigne Klasse. 



Auf diese Weise giebt es drei verschiedene Hauptarten von Irratio- 

 nalen durch Zusammensetzung. Entweder beide Stücke sind, ohne 

 Medien zu sein, der Länge nach incommensurabel, dem Quadrat, oder wie 

 es heifst, der Potenz nach, rational; aber sie sind der Potenz nach zwar 



