über das zehnte Buch der Elemente des Eiikhdes. 345 



erster Art eine solche, deren Theilstücke ein rationales Rechteck bilden, 

 während die Summe ilirer Quadrate rational und aus der Bimedie zweiter 

 Art eine solche, deren Theilstücke ein Medium bilden, und zugleich ein 

 Medium in der Summe ihrer Quadrate. 



Euklidcs hat keine andere aus zwei Theilstücken zusammengesetzte 

 irrationale Gerade, als die eben dargestellten, wovon aber nur die sechs Bi- 

 nomien als ursprüngliche, die übrigen als abgeleitete zu betrachten, daher 

 auch das Ganze bei ihm den Namen führt der Hexaden durch Zusammen- 

 setzung, obgleich überhaupt genau eilf solcher viertheiligcn Irrationalen, 

 nicht mehr, möglich sind, nämlich aufser den Binomien noch zwei Bimedien 

 imd drei, die keiuen besondern Gattungsnamen führen, wovon aber nach 

 ihren Eigenschaften eine die gröfsere heifst, die zweite die ein Rationale und 

 ein Bledium potenzirende, die dritte die ein JMedium und ein Medium po- 

 tenzirende. 



Zusammen bilden diese Irrationalien ein Ganzes, dessen verschiedene 

 Zweige durch eine erschöpfende Zergliederung der dabei möglichen verschie- 

 denen Fälle mit logischer Folgerichtigkeit und Bestimmtheit gegeben sind, 

 sowohl ihrer Zahl nach als nach ihrer Stellung gegen einander. Das ganze 

 System aber wird in allen Theilen bedingt und vollendet durch die sechs Ar- 

 ten der Binomien, 



Analog der Binomie ist die Apotome, nur dafs hier das eine Theil- 

 stück fehlt, welches mit dem übrig gebliebenen eine Gerade von einer vor- 

 geschriebenen Bedingung bilden soll, imd aus diesem Gesichtspunkt demsel- 

 ben als congrueut betrachtet wird. Die Ganze Gerade besteht aus zvrei 

 Theilstücken. Von diesen aber ist nur das eine vorhanden, welches zur gan- 

 zen in einer analogen Beziehung steht, wie die beiden Theilstücke einer Bi- 

 nomie oder Bimedie. Was dort Zusammensetzung war, wird hier Trennung. 

 Die neuere Älathematik bewirkt eine solche Umänderung durch blofses Ver- 

 ändern des Vorzeichens + in — , die ältere, einer geometrischen Anschauung 

 nie entbehrend, behielt die Figur des Raumes bei Betrachtung seiner Gröfse 

 Schritt vor Schritt im Auge, woi'aus sich die Nothwendigkeit ergab, andere 

 V^^ege einzuschlagen bei Trennung räumlicher Gröfsen, als bei deren Zusam- 

 mensetzung. So begreift es sich, warum Euklides's Theorie der Irrationalen 

 in zwei von einander ganz getrennte Abschnitte zerfällt, von denen der eine 

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