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den Namen führt: Hexaden durch Zusammensetzung; der andere den: Hexa- 

 den durch Trennung. 



Es läfst sich aber ganz auf demselben Wege, auf welchem die ver- 

 schiedenen Arten derBinomien gefunden werden, statt jeder derselben, eine 

 Apotome gleicher Art bestimmen und eben dieselben Schlüsse, welche dort 

 die Zusammengesetzte als eine Irrationale bestimmen, finden auch auf die 

 Trennung Anwendung. Dennoch hat hier Euklides einen andern Weg ein- 

 geschlagen, sichtbar aus keinem andern Grunde, als weil solcher in diesem 

 Falle der Natur des Raumes und seiner Figur mehr zu entsprechen schien. 

 Er hat auch die Apotome im Gegensatze der Binomie rmr im Allgemeinen 

 als Gattung aufgestellt, um überflüssige Wiederholungen zu vermeiden. Wie 

 aber aus einer Binomie eine ßimedie, so, auf ganz ähnliche Weise, läfst sich 

 aus einer Apotome im Allgemeinen die Apotome einer Medie ableiten. Und 

 auch der dritten, nämlich der unbenannten Klasse zweilheilig zusammenge- 

 setzter irrationaler Geraden stellt die Analogie eine ganz entsprechende Klasse 

 der Apotomen gegenüber. 



Nach diesem in seinem ganzen Umfange gefundenen Systeme zweithei- 

 liger Geraden, Irrationalen durch Zusammensetzung oder durch Trennung, 

 läfst sich nun eine Rationale mit einer der sechs Binomien zu einem Recht- 

 eck zusammensetzen, dies aber, in ein Quadrat verwandelt, hat eine irrationale 

 Wurzel von einer Art, welche durch die zusammensetzenden Seiten des 

 Rechtecks bestimmt wird. So ist die Wurzelseite eines aus einer rationalen 

 und einer Binomie zweiter Art zusammengesetzten Rechtecks eine Bimedie 

 erster Art; gleichermafsen giebt das Rechteck zwischen einer rationalen und 

 einer Binomie dritter Art eine Bimedie, u.s.w. 



In jedem der hier möglichen sechs verschiedenen Fälle, und durch die 

 Art der irrationalen Seite eines Rechtecks dessen andre Seite rational, ist die 

 Natur der Seite des dem Rechtecke gleichen Quadrates gegeben. Aber auch 

 umgekehrt, wenn die Seite eines Quadrats eine zweitheilige Irrationale ist, 

 und dasselbe in ein Rechteck verwandelt wird, dessen eine Seite rational, 

 so ist die andere eine zweilheilige Irrationale, deren Natur durch die der Seite 

 des Quadrats bestimmt ist. 



Dies ist es, was Euklides den Grundsatz der Hexaden nennt und was 

 sowohl von den Hexaden durch Zusammensetzung gilt, als denen durch 

 Trennung, den Apotomen. 



