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(w, n, commensurabel der Länge iiacli), weil jede solche Zahl durch die 

 Einheit mefsbar ist. 

 Ist also 



OL \ Q> r=. m '. n 

 so ist auch 



«|/3 : S 



weil wir immer a, /3, in m, n, gleiche Theile zerlegen können, und, damit 

 obige Proportion statt finde, ein solcher Einzeltheil in beiden derselbe sein 

 mufs. 



Aus 



«1/3 : S 



folgt 



a' 1 /s' : S (Quadrate der Commensurabeln) 

 d.h. 



a|/3 : e. 



Nicht umgekehrt aber folgt a | /3 : S aus a | /3 : €. Denn, wenn dui-ch Con- 

 struction, mittelst eines Kreises, Quadrate bestimmt werden: a', /S', die 

 sich, wie Nicht quadralzahlen: p, q, verhalten: 



a' \ß' =z p'.q 

 so ist 



a|/3 : e 



und dennoch 



aj/Q : oe 

 Es kann also sein: 



a I /3 : os, e 



(der Länge nach incommensurabel, der Potenz nach commensurabel), und 

 dann ist 



Es kann auch sein: 



a\ß : oe 

 und dann ist jederzeit auch 



a\ß : oS 



wie solches aus dem unmittelbar vorhergegangenen folgt. 



Aus obigem folgt: 

 wenn a : p; ß : p; y : p, so ist 



aß\Y : S, und y' : p 



