über das zehnte Buch der Elemente des Eiiklides, 349 



■wäre ß : cp, so: 



aß\Y : oS, 

 mithin 



aß : op 

 auf gleiche Weise auch 



yß : op 

 und da 



aß : yß = a : y; a\y : ^ 

 SO 



aß\yß : £ 



zwei Flächen unter sich mefsbar, wenn gleich beide irrational. Eben dies 

 gilt offenbar von den ihnen gleichen Quadraten. Wenn also a\ß '. oS, €, 

 so sind zwei mögliche Fälle darunter begriffen: 



entweder a\ß l oS, 8, cp, wenn a^ , ß\ beide irrational, 

 oder a\ß : o2, €, p, wenn beide rational sind. 



Ist nun gegeben 



a|/3 : OS, €, p 

 so folgt 



o.'\aß : oS 



und weil, nach der Voraussetzung, a' : p, so ist aß '. cp. 



Ein solches Rechteck heifst: öledium; wird nun geometrisch ge- 

 macht: 0/3 = 5', so ist i5' : op, daher auch 5: op, und es heifst die Gerade 5, 

 eine Media. 



Hieraus ergeben sich nun drei Hauptklassen irrationaler Geraden: 



I, a I /3 : OS, e, p 



n. a I iS : oS, e, med. (Medien) 



m. a\ß: oe. 



Zur ersten gehören die Geraden, deren Quadrate rational; zur zweiten die 

 Gei-aden, die, selbst Medien, ii-rational, deren Quadrate aber commensu- 

 rabel, obgleich ebenfalls irrational; zur dritten die Geraden, die der Potenz 

 nach, und daher auch der Länge nach, incommensurabel sind. 



Aus a\ß : oS folgt, dafs a, ß, ungleich sein müssen. Wir wollen 

 also jedenfalls voraussetzen: a> ß, imd cc' — /3' = 7% so ist die Alterna- 

 tive denkbar «[-y : S oder a\y '. oS. Durch Zusammensetzung aber, oder 

 durch Trennung der incoramensurabeln a, ß, entstehen neue, irrationale, 



