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die also dem einen dieser beiden Wechselfälle oder dem andern gehören, wo 

 denn zugleich sein kann, entweder die gröfsere u ; op und ß '. p; oder a '. p, 

 und ß : cp, oder endlich a : op und ß '. op. Auf solche Weise begreift folg- 

 lich die erste der obigen drei Hauptklassen, zwei Gattungen und sechs Un- 

 terarten in sich. Daher der Euklideische Namen: die Hexaden, welche ent- 

 weder Hexaden sind durch Zusammensetzung, oder durch Trennung, in 

 welchem letzteren Falle sie Apotome genannt werden. 



Die incommensurabeln Theilstücke einer solchen Zusammensetzung 

 oder Trennung heifsen im Allgemeinen: Nomen, und, wenn sie Medien sind, 

 heifsen sie auch Medien, daher die zusammengesetzten Irrationalen Binomien 

 oder Bimedien heifsen. 



Zu der obigen ersten Hauptklasse also gehören ausschliefslich, als Ir- 

 rationale durch Zusammensetzung, die sechs Arten der Binomien, welchen 

 sechs analoge Arten von Apotomen, als Irrationalen durch Trennung, ent- 

 sprechen, wovon weiter hin die Rede sein wird. Die Bimedien gehören zur 

 zweiten der obigen Hauptklassen. Die Irrationalen der dritten Hauptklasse 

 können unbenannte heifsen, da sie keinen besondern Namen führen. 



Die sechs Arten der Binomien aber werden durch Auflösung folgen- 

 der Probleme gefunden: 



1 . Gerade: a.\ß, zu finden, unter diesen Bedingungen: 



a|/3 : oS, e, p; a' — /3'' = 'y'; a|y : S; a: p, /3 : 0/3. ' ' 



Wir wählen zwei Zahlen, p, q, von solcher Beschaffenheit, dafs p"^ — 

 (j- z= m, eine Nicht -Quadratzahl, und setzen, was leicht zu machen ist, 

 a : p, und 



so wird 



a' :ß' =p^ : m; a' — ß' = y' 



3 



daher 



Aus 



folgt 



a' : 7' = ^- : ^ 



a : 7 =: p \ q 



a|/3 : oC, e, p; a\p; ß\ op 



«Iv : ^ 



a\ß \ ot, 



a\ot.-\- ß : oS; a. ', p, nach Voraussetzung 



