über das zehnte Buch der Elemente des Eiiklides. 351 



daher (t + ß '. op 



Diese Irrationale a 4- , 'S heifst: Binomie erster Art. 



2. Gerade: a, ß, zu finden, unter diesen Bedingungen 



a I /3 : oS, 6, p; a' — ß' = Y; et | y : S; a : cp, ß : p. 



Vorausgesetzt ß l p, und a, wie in 1. gesucht, so ergiebt sich ganz auf dem 



gezeigten Wege 



a\ß : oS, €, p; a: cp, ß : p 



a-t- ß : cp 



und diese Irrationale a + ß Keifst Binomie zweiter Art. 



3. Gerade: a, ß, zu finden, unter diesen Bedingungen: 



a I /3 : oS, €, p; a' — /3' = y' ; a | y : S; al cd; ß : cp. 



Setzen wir a : p und wählen: 



(j^, eine Quadratzahl; 



p, r, Nicht quadratzahlen; 



p -i- (j^ = m" , eine Quadratzahl. 



Wir machen dann, was immer thunlich ist, 



/■ : ni" ^ a' : c:' ; daher a' : p, und 



a\a '. oS, €, p; » a : cp 



ferner machen wir 

 wir haben dann 



r'.p = a':ß'; daher ß' : p, und 



a|/3 : oS, e, p; « /3 : cp 



to' : ;7 = a' : /3' ; folglich a' > /3' ; sei a' — /3' = y' , 

 so ist 



m" : <7° := cC : y*' 



m : «7 = a : y 



a|y : 5 

 a|/3:oS, e,p 



also der Aufgabe genügt. 



Es läfst sich aber aus zwei irrationalen Theiistücken: «, ß, kein ratio- 

 nales Ganzes zusammensetzen: daher ist 



