über das zehnte Buch der Elemente des Euklides. 359 



In jeder der eben gefundenen drei Arten von Irrationalen ist das zum 



Grunde gelegte : 



a\b : oS; 

 daraus folgt 



a''\ab : oS, 



woraus, für sämmtliche drei Arten, 



a'' + ß" \ aß : oC 



Euklides hat keine andere aus zwei Theilstücken : «, ß, zusammengesetzte 

 irrationale Gerade, als die in den vorigen Auflösungen gefundenen, näm- 

 licli: sechs Binomien; zvvei Bimedien, deren jede zwei Unterarten hat, und 

 drei unbenannte, also eilf an der Zahl. Die drei letzteren entstehen, wie 

 wir gesehen haben, aus Binomien, oder Bimedien. Aus Binomien entsteht 

 nur eine, imd wird die Major genannt; aus Bimedien zwei verschiedene, 

 wovon das Quadrat der einen {ct + ßy enthält die Summe zweier rationaler 

 Flächen: a^+/3^ und ein Medium: 2 aß; das Quadrat der zweiten («H-/3)': 

 die Summe zweier Flächenmedien: a'^ + ß'' und ein Medium: 2 aß, welches 

 die Alten so ausdrücken: jene potentiirt ein Rationale und ein Medium; 

 diese ein Bledium und ein Medium 



Zusammengenommen bilden diese Irralionalien ein Ganzes, dessen 

 verschiedene Zweige, durch eine erschöpfende Zergliederung der dabei mög- 

 lichen verschiedenen Fälle, mit logischer Folgerichtigkeit und Bestimmtheit, 

 sowohl ihrer Zahl, als ihrer Stellung nach gegen einander gegeben sind. 



Anschaulich macht solches folgende Tafel. Die allgemeine Form ist: 

 a-\-ß '. op. Hierunter sind begriffen: 



I. Binomien. 

 Ihre gemeingeltenden Bedingungen: 



a|/3 : oS, e, p ; a> ß ; a' — /S" = 7'. 

 Besondere Bedingungen der Arten und Unterarten : 



(J) . a\y : S (B) . a\y : oS 



{(j) . a: p ; ß:cp ; B. erster Art; {a) . al p ; ß : op ; B. vierter Art; 



(b) . a:cp ; ß: p ; B. zweiter » {0) . a : cp ; ß : p ; B. fünfter » 



(c) . a'.cp ; ß:op ; B. dritter » {c) . a'.op ; ß : op ; B. sechster » 



