über das zehnte Buch der Elemente des Euklides. 373 



so ist 



a" -\- ß' z=aH ; H '. p ; ^^ 4- £' = ß/ ; / : p- 



Wir können immer machen : 



2 aß = ah ; 2 ($£ = ai 

 so ist 



rt/i : medium ; ai : medium. 

 Es ist 



a-'+ßi— (^ + £') = 2 {^s — aß) 



a (H—I) = a {h — i). 

 Es ist aber offenbar 



H — / ', p und a (h — i) '. op 



also wäre ein Rationales gleich einem Irrationalen, welches unmöglich ist. 



Eben dasselbe kommt, wenn wir statt der Binomien a + ß ; S+s, 

 Apotomen setzen: a — ß ; ^ — s. 



In allen Fällen, also wo eine gerade in zwei verschiedene Binomien 

 zerlegt, oder zwei verschiedenen Apotomen congruent werden könnte, würde 

 sem : entweder 



oder 



oder 



welches entweder eine Gleichheit zwischen Rational und Irrational, mithin 

 etwas Unmögliches, oder die Gleichheit zweier verschiedener Apotomen 

 N — /; h — /, voraussetzen würde, welche nicht statt finden kann. 



Auf dieselbe Weise ergiebt es sich sofort, dafs auch nicht eine Apo- 

 tome zugleich eine zweitheilige durch Zusammensetzung; überhaupt keine 

 zweitheilige Irrationale durch Zusammensetzung, oder durch Trennung zu- 

 gleich eine andere dergleichen sein könne. 



Werden zwei Rechtecke yJ '. p ', B '. medium , in eins zusammenge- 

 setzt und dann in ein Quadrat verwandelt, so ist die Seite dieses Quadrats 

 eine Binomie. 



Denn es sei: 



A + B =^ k^ und a : p 

 so können wir setzen: 



