578 DiRKSEN ühev die Darstellhavkeil der JViirzeln 



nale, — für alle diese vier Fälle von m also mittelst algebraischer Ausdrücke 

 zu Stande gebracht. Der Hauptzweck der folgenden Betrachtungen ist, un- 

 ter Berücksichtigung der, diesen Gegenstand betreffenden Leistungen Ruf- 

 fini's, Abel's und v. Ettingshausen's, darzuthun, dafs sich keine von 

 den Wurzeln der Gleichung (2) mittelst algebraischer Ausdrücke von den 

 Gröfsen (1) darstellen läfst, wenn m gleich, oder grofser, als 5 ist. 



Um dahin zu gelangen, schien es dem Verfasser nicht unwesentlich, 

 aufser denjenigen Lehrsätzen, mit welchen der in Rede stehende Satz in der 

 nächsten Verbindung steht, oder vielmehr als stehend betrachtet werden 

 kann, auch diejenigen, und zwar in ihrem Zusammenhange, zu einer, wenn 

 auch theilweise nur factischen, Erörterung zu bringen, welche demselben 

 entfernter liegen, jedoch, an imd für sich betrachtet, nicht zu den bekann- 

 testen gerechnet werden dürfen; — und es ist deshalb, dafs diese Abhand- 

 lung in drei Abschnitte zerfällt. 



Der erste Abschnitt hat die, auf den vorliegenden Gegenstand zu- 

 nächst bezüglichen Eigenschaften der algebraischen Ausdrücke, und der, 

 durch algebraische Ausdrücke bestimmten Funktionen zum Gegenstande. 



Der zweite Abschnitt betrifft die nähern Bedingungen, welche eine 

 Funktion von den Coefücienten der Gleichung, in so fern man dieselbe durch 

 analytische Ausdrücke überhaupt, und durch algebraische Ausdrücke ins be- 

 sondere, als bestimmt betrachtet, zu erfüllen hat, um eine Wurzel der all- 

 gemeinen Gleichung des Grades m zu sein. 



Ln dritten Abschnitt wird endlich gezeigt, dafs diesen Bedingungen 

 nicht entsprochen werden kann: 



1) durch eine, mittelst rationaler Ausdrücke bestimmte Funktion, wenn 

 m > 1 ist. 



2) durch eine, mittelst irrationaler, oder theils rationaler, theils irratio- 

 naler, Ausdrücke dargestellte Funktion, wenn der Gi-ad in der Glei- 

 chung höher, als 4 ist. '■ ■- • 



Die folgenden Sätze werden hier jedoch, unter der Benennung „Hülfs- 

 sätze," als hinreichend bekannt in Anspruch genommen. 



Ilülfssatz I. Bezeichnen 



x" + A ^x"-' + y^„a-"-' + y^,.-c"-' + -t- A„_,X + y4„, 



x" + .^>"'- + J\^x'''-^+ /l\x"-^-\- -+- ^'„■_,x + J\- 



und 



