einer allgemeinen algebraischen Gleichung u. s.w. 591 



beziehungsweise irgend welche Ausdrücke von den Unbestimmten ^,,1^2, 



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 ^,, 1^^...., von der Eigenschaft, dafs v durch keinen rationalen Ausdruck 



von V und P^, P^, P^, P3 -f„_i dargestellt werden kann; und ist 



(1) P^+ P,i>^-i- F^i'^^ P,i>^-1- + P^r^ + + P_,r'^=0: 



so hat man auch 



(2)....P„ = o, P, = o, P, = o, P, = o, Pj = o, ..../'„_, = 0. 



Beweis. Finden die Gleichungen (2) nicht statt, so wird auch das 

 Polynomium 



p^ + p^t+p,i'+ p,p^ +p^t^+....+ P_^r-\ 



wo t eine neue Unbestimmte bezeichnet, nicht unabhängig von l gleich Null 

 sein. Denn, damit dies der erste Fall sei, müssen, nach Hülfsatz III, die 

 Gleichungen (2) statt finden. 



Findet nun ferner die Gleichung (1) statt, so wird v~ eine Wurzel 

 der Gleichung 



{3)....P, + Pj + P,r -\-P,t'-\ i-P^t'-i hP„_,r-' = o 



sein. Denn setzt man hier i = v~"~, so entsteht die Gleichung (1). 



Da nun v~ auch eine Wurzel der Gleichung 

 (4) r — (' = 



bildet, so folgt, dafs, in so fern (1) statt findet ohne (2), die Gleichungen 



(3) und (4) wenigstens Eine Wurzel gemeinschaftlich haben müssen. 



Es bezeichnen ju die Anzahl, und k^, k^, k^ k^ die Werthe dieser 



gemeinschaftlichen Wurzeln. Alsdann ist es klar, dafs diese Anzahl kleiner, 

 als n, und die Werthe insgesammt von einander verschieden sein werden, — 

 weil nahmentlich, wie solches hinreichend bekannt ist, die Gleichung (3) 

 nicht mehr als n — 1 Wurzeln haben kann, und die Wurzeln der Gleichung 



(4) insgesammt von einander verschieden sind. Einem bekannten algebrai- 

 schen Satze zufolge wird sich alsdann das Poljnomium von (3) durch 



T{t-k,){t-k,){i-k,) {t-k;). 



und das Poljnomium von (4) durch 



