600 DiRKSEN über die Darslellharheit der TVurzeln 



Anmerk. Es ist leicht zu übersehen, dafs der Beweis dieses Lehr- 

 satzes hauptsächlich auf die Begründung der Gleichung (20) zui-ück kommt; 

 wie auch, dafs der vorige Beweis nur in so fern gültig ist, als m, die An- 

 zahl der Unbestimmten, nicht kleiner, als 5 ist. Wäre m = 3, oder i, so 

 würde über die Gleichung (7) nicht hinaus zu kommen sein. 



10. Def. 3. Bezeichnen 



t 'y* 'v» T» 'V* «y» 



IJ 25 33 *^^i^**'**^m 



m von einander unabhängige unbestimmte Gröfsen, und 



irgend einen analytischen Ausdrück derselben, für welchen man hat 



E'^' = E: 

 so wird E ein symmetrischer Ausdruck von jf,, y^, x^,x^ x^ genannt. 



Da sich, nach Def. 2, Folg., jede Versetzung der Ordnung \j. von E 

 mittelst (/^ — i) auf einander folgender Versetzungen der Ordnung 2 erhalten 

 läfst; so erlangt man, unter Zuziehung des 1 1"" Lehrs., 



Lehrsatz 13. Ist 



E ■=:. (\> {x^, X., x^, X ^. .. .xj), und £'""' = £': 



so ist auch, für jeden ganzen Werth von ju, von 2 bis m einschliefslich, 



^•"' = E. 



11. Setzt man 



X = {x — :r,) {x — jr„) {x — o:,) {x — x^ {x — a-„); 



so wird, weil durch die gegenseitige Versetzung von zwei beliebigen der m 

 Unbestimmten x ^, x„, x^....x^, blofs die Ordnung der Factoren geändert 

 wird, und der Werth eines Productes mehrerer Factoren von der Ordnung 

 eben dieser völlig unabhängig ist, unabhängig von der neuen Unbestimmten x, 



und daher, nach Def. 3, X ein symmetrischer Ausdruck von a:,, x^,x^...x^ 

 sein. 



