einer allgemeinen algebraischen Gleichung ii. s. \v. 619 



Wurzeln der Gleichung (1) dargestellt werden kann. Dasselbe wird daher 

 auch, der Voraussetzung nach, mit 



der rall sein. __>_ 



Da nun, dem Erwiesenen nach, ein Ausdruck D^u^^^"'', wo D, einen 



rationalen Ausdruck von 



m'" Zi"^' m'" n^'*'^- 



(I), (U), 



bildet, denkbar ist, welcher durch einen rationalen Ausdruck der Wurzeln 



1 



von (1) dargestellt werden kann; so wird solches auch mit u^^^"", von v = i, 



bis i/ = (U2, der Fall sein. 



So fortfahrend, erlangt man das Ergebnifs, dafs, in so fern die Form 



(2) eine Wurzel der Gleichung (1) darstellt, die Gröfsen 



(II), (III), (IV)....(r + I) 



beziehungsweise durch rationale Ausdrücke von den Wurzeln der Gleichung 

 (1) dargestellt werden können. 



§. III. 

 Über die Darstellbarkeit der Wurzeln einer algebraischen Gleichung. 



17. Lehrsatz 19. Bezeichnet die Funktion /" (^,, ^2, ^3, ^^....^^) 

 eine Wurzel der Gleichung 



(l)...a:- + |.x-' + ^,a:"-^+^3^"-' + ---- + e_.^ + ^„ = o: 



so läfst sichy (^,, ^„, ^,, ^,....^„) nicht durch lauter rationale, insgesammt 

 auf eine explicite Weise von ^,, ^.,, ^3, ^, — ^„ abhängige, Ausdrücke dar- 

 stellen, so bald m > 1 ist. 



Beweis. Nach Def. 1, in Verbindung mit den Lehrs. 4 und 5, läfst 

 sich jede, mittelst expliciter rationaler Ausdrücke bestimmte Funktion von 

 ^i> ^25^3) ^4-'"^„ durch einen einzigen rationalen Ausdruck von eben die 

 sen Gröfsen darstellen. Denkt man sich also hierin für ^,, ^2, ^3, ^^-..-^^ 



ihre symmetrischen rationalen Ausdrücke in x,, x^, x^, x^ a?„ gesetzt; so 



Iiii2 



