620 Diuksen über die DarstellharheU der TVuvzeln 



wird, wofern m>i ist, dem 9""° Lehrsatze zufolge, eine solche Funktion 

 entweder von jc,, jc^, x, — x^ unabhängig werden, oder in einen symmetri- 

 schen Ausdruck von eben diesen Gröfsen übergehen. 



Da aber, durch eine solche Substitution, / (^,, ^^, ^3, ^^'•'•^^), in 

 so fern sie eine Wurzel der Gleichung (1) bildet, dem 17"° Lehi-satze nach, 

 in irgend eine einzige von den Gröfsen a,, x.,, x^....x^ übergehen, und von 

 allen übrigen dieser Gröfsen unabhängig werden mufs : so kann eine auf die 

 in Rede stehende Weise dargestellte Funktion von ^,, ^„, ^3, ^^....^„ keine 

 Wurzel von (1) sein, so bald m > 1 ist. 



18. Lehrsatz 20. Bezeichnet die Funktion X von |,, ^2, ^,, ^,...^„ 

 eine Wurzel der Gleichung 



(1) . . . x"'+^,x'"-' + ^.x"-- + ^^x"-- -i h ^„_,x -h ^^ = : 



so läfst sich X weder durch lauter rationale , noch theils durch rationale, 

 theils durch irrationale, insgesammt auf eine explicite Weise von ^,, ^„, ^3, 

 ^4"»<„ abhängige. Ausdrücke von ^,, ^25 1^3) ^4""^». darstellen, wenn m 

 gröfser, oder eben so grofs, als 5 ist. 



Beweis. Nach dem 6"° Lehrs. läfst sich eine, auf die in Rede ste- 

 hende Weise bestimmte Funktion X von ^1, ^2, ^^, ^^ ^,„ darstellen durch 



die Formel 



t t 



„(1) „(2) , \„'»rl"l 



wo F die Charakteristik eines rationalen Ausdrucks von den, imter demsel- 

 ben stehenden, Gröfsen bezeichnet, und die Gröfsen selbst in der Bedeu- 

 tung des 6'" Lehrs. zu nehmen sind. 



Damit nun ein solcher Ausdruck eine Wurzel der Gleichung (1) bilde, 

 werden, dem 18"° Lehrsatze zufolge, die Ausdrücke 



„(I) „(2) „(1) / \„(fl' 



(2) l 



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